Diëdersubstituties. Men kan elk punt van den bol toevoegen aan een complex getal x + iy; daartoe begint men met in een plat vlak elk complex getal z = x + iy voor te stellen door een punt W met coördinaten x en y; vervolgens construeert men om den oorsprong O (x = 0, y = 0) als middelpunt en met een straal gelijk aan 1 een bol; deze wordt door het oorspronkelijke complexe vlak gesneden volgens den aequator. De polen van den aequator zijn P en Q. Ten slotte verbindt men elk punt W met Q; elke lijn WQ snijdt den bol voor de tweede maal in een punt Z, dat nu dient als vertegenwoordiger van het complexe getal z = x + iy. Elk der boldriehoeken PAA, QAA (zie DIËDERDRAAIINGEN) vertegenwoordigt dus als geheel van de daarin gelegen punten Z een verzameling van complexe getallen z. De overgang van den eenen boldriehoek in den anderen gaat zoodoende gepaard met den gezamenlijken overgang van een reeks complexe getallen (z) in een andere reeks (z').
Algebraïsch wordt deze overgang aangewezen door een z.g. lineaire substitutie, d. i. door een vergelijking van den vorm z' = az+β/yz+δ, waarbij a, β, y, δ afhangen van den aard der draaiing. De n-1 diëderdraaiingen om PQ komen overeen met z' = εkz (waarbij ε = cos 360°/n + i sin 360°/n = e 2 i π/n) k = 1,2,..n 1; de stilstand beantwoordt aan z' = z, dus aan k = 0; de n diëderdraaiingen om de n middellijnen in den aequator komen overeen met z' = (k = εk/z (k = 0, 1,..n-1). De 2n substituties z' = εk.z, z’ = εk/z (k = 0, 1, n-1) heeten d i ë d e r s u b s t i t u t i e s. — Had het diëdernet een andere ligging gehad t.o. van het complexe aequatorvlak, dan zou men een ander stel van 2n substitities van den vorm z’ = az+β/+δ gekregen hebben.
