o. (-topen), veelcel.
(e) In ruimten van meer dan drie dimensies is het polytoop het analogon van de veelhoek in het platte vlak en het veelvlak in de driedimensionale ruimte. In de driedimensionale ruimte wordt een veelvlak begrensd door vlakke veelhoeken, de zijvlakken, die elkaar snijden volgens rechten, ribben genaamd, die elkaar in de hoekpunten ontmoeten. Analoog hieraan wordt een polytoop in de vierdimensionale ruimte begrensd door driedimensionale zijruimten (icellen genaamd), die elkaar snijden volgens vlakke veelhoeken, die dan weer ribben gemeen hebben die elkaar in de hoekpunten snijden. In het algemeen wordt in den-dimensionale ruimte een polytoop begrensd door ruimten van de dimensie resp. (n 1), (n 2), ..., 2,1. Wanneer men het aantal k-dimensionale begrenzingen aangeeft met rk, dan geldt in de n-dimensionale ruimte Rn voor convexe polytopen (d.w.z. polytopen waarvan elk tweetal punten verbonden kan worden door een rechte die geheel binnen het polytoop verloopt) een generalisatie van de stelling van Euler (→polyeder):
1 — r0 + r1 — r2 ... + (—1) n_1 = 0. Van een driedimensionaal veelvak kan men een tweedimensionaal model maken door vanuit een punt, gelegen ‘vlak voor’ een zijvlak, alle hoekpunten te projecteren op dat zijvlak; men noemt dit een diagram van Schlegel. Voor de kubus uit afb.1 geeft de projectie op ABFE de figuur in afb.2. In dit diagram leest men af dat in elk hoekpunt de drie ribben en drie zijvlakken samenkomen. Op analoge wijze kan men van een vierdimensionaal polytoop een driedimensionaal model maken door vanuit een punt ‘even buiten’ een zijruimte alle hoekpunten te projecteren op die zijruimte. Zo heeft het diagram van Schlegel voor het vierdimensionale analogon van de kubus (het zgn. maatpolytoop, begrensd door zes kubussen) de in afb.3 geschetste driedimensionale gedaante. Men leest hieruit af dat in ieder hoekpunt vier ribben, zes zijvlakken en vier driedimensionale zijruimten samenkomen. Deze zijruimten worden gepresenteerd door afgeknotte vierzijdige piramiden. Een regelmatig polytoop in Rn wordt (inductief) gedefinieerd als een polytoop in Rn dat begrensd wordt door onderling congruente regelmatige polytopen uit de (n l)-dimensionale ruimte Rn-1.
In R3 is het aantal verschillende convexe regelmatige polytopen (hier →polyeders) vijf, in R4 zes en in de ruimten met hogere dimensie steeds drie. De drie regelmatige polytopen die in alle Rn voorkomen zijn: 1. Het regelmatige simplex: het n-dimensionale analogon van het regelmatige viervlak. Dit polytoop wordt gevormd door (n + 1) hoekpunten in Rn die op onderling gelijke afstand liggen. Elk n-tal hiervan bepaalt een regelmatig polytoop in de (n 1)
dimensionale ruimte zodat er (.n-1/n)=n + 1 zijruimten zijn. In R4 wordt een regelmatig simplex gevormd door vijf hoekpunten op onderling gelijke afstand, waarvan er telkens vier een regelmatig viervlak als zijruimte bepalen. Men spreekt hier ook wel van een regelmatige 5-cel. Men kan dit lichaam ook karakteriseren door een symbool van Schläfli {p, q, r}. In dit symbool karakteriseren de getallen p en q de zijruimten: deze bestaan dan uit regelmatige veelvlakken gevormd door regelmatige p-hoeken waarvan er in één punt q samenkomen; het getal r geeft aan dat iedere ribbe van het polytoop tot r azijruimten behoort. Het Schlafli-symbool van een regelmatige 5-cel is dan {3, 3, 3}. 2.
Het maatpolytoop: het n-dimensionale analogon van de kubus. Dit polytoop verkrijgt men door op elk van de n onderling loodrechte coördinaatassen in R„ vanuit Q zowel in positieve als in negatieve richting een lijnstuk van gegeven lengte b.v. 1, uit te zetten. Door elk van de aldus verkregen 2n punten brengt men een (n-l)-dimensionale ruimte aan, loodrecht op de as waarop het punt ligt. Deze 2n-ruimten vormen bij onderlinge doorsnijding de zijruimten van het maatpolytoop die (n-l)-dimensionale kubussen blijken te zijn en deze bepalen in totaal 2" hoekpunten, die beschreven kunnen worden door de 2n n-tupels: (𝝵1 𝛿2,... 𝝵n) met 𝛿1= 土 l, waarbij alle tekencombinaties voorkomen. In R4 ontstaat zo de regelmatige 8-cel begrensd door de acht kubussen en gekarakteriseerd door het Schlafli-symbool {4, 3, 3}. 3. Het kruispolytoop of octaëderpolytoop: het n-dimensionale analogon van het regelmatige achtvlak.
Men kiest hierbij als hoekpunten de 2n punten, gelegen op de coördinaatassen van een loodrecht assenstelsel in Rn, elk met een afstand 1 tot 0, dus de punten bepaald door de 2n n-tupels: (士 1,0,0,0...0), (0, ± 1,0...0), (0,0 ± 1,0...0) enz. Men zoekt nu die n-tallen van hoekpunten waarvan er geen twee op een zelfde as liggen. Het aantal van deze n-tallen bedraagt 2n. Door elk van deze n-tallen brengt men een (n — l)-dimensionale ruimte. Bij onderlinge snijding van deze ruimte n worden de 2n zijruimten van het polytoop gevormd. In R4 verkrijgt men op deze wijze de zgn. regelmatige 16-cel, begrensd door regelmatige viervlakken en gekarakteriseerd door het Schlafli-symbool {3, 3, 4}.
Onder de ruimten met dimensie vier of hoger is R4 de enige ruimte die nog andere regelmatige polytopen toelaat en wel de regelmatige 24-cel begrensd door 24 regelmatige achtvlakken en bepaald door het Schlafli-symbool {3, 4, 3}; de regelmatige 120cel begrensd door 120 regelmatige twaalfvlakken; Schlafli-symbool {5, 3, 3} en tenslotte de regelmatige 600-cel begrensd door 600 regelmatige viervlakken, met als Schlafli-symbool: {3, 3, 5}. [dr. A. W. Grootendorst].
LITT. H.S.M.Coxeter, Regular polytopes (1973).
