v./m. (-en),
1. voorstelling van onderscheidene, tot een harmonisch geheel bijeengeschikte figuren: Rodins van de burgers van Calais; een foto van een familiegroep;
2. (bij uitbreiding, niet als uitbeelding) geordende, of wel min of meer schilderachtig geschikte verzameling van personen of (gelijksoortige) zaken: de spelende kinderen vormden een aardige —; een groepje pratende heren; zij stonden op een bij elkaar; een bomen; ook gezegd van personen die door een gezamenlijk belang, beginsel of een gezamenlijke taak bijeengehouden worden; een bewuste collectiviteit (e); (in het algemeen) een verzameling, een troep bij elkaar behorende zaken: een potvissen; de van de Molukken, de bij elkaar gelegen eilanden van de Molukken;
3. (geologie) stratigrafische eenheid bestaande uit een aantal formaties; (plantkunde) bijeenbehorende afdeling van planten: een bepaald aantal klassen vormt een afdeling, een bepaald aantal afdelingen een —; (bij het classificeren van volken en talen) kleinere of grotere vereniging van volken of talen die bep. kenmerkende hoedanigheden of eigenaardigheden gemeen hebben: de — van de Maleiers; de van de Indo-europese talen; een vergeten —, achtergebleven in bepaalde voorzieningen; (wiskunde) verzameling van elementen die aan bep. voorwaarden voldoet (e);
4. afdeling, onderdeel van een geheel: de conservatieve van de liberale partij; in de Ned. krijgsmacht de kleinste tactische gevechtseenheid van de infanterie (e); in België gangbare ben. voor divisie met betrekking tot de zeemacht (e); aantal noten ter versiering van een melodie; (elektrotechniek) gedeelte van een installatie dat door één of meer smeltveiligheden afzonderlijk is beveiligd.
(e) militaria. Een infanteriegroep bestaat in de meeste gevallen uit een sergeant (groepscommandant), een korporaal (plaatsvervangend groepscommandant) en negen tirailleurs.
In het Belg. leger wordt de benaming sectie gebruikt in plaats van groep.
In de Belg. zeemacht bestaat een groep (een divisie) uit twee squadrons, een commandoen logistiek steunschip. Het aantal eenheden, afhankelijk van de uit te voeren taak, is maximaal tien. sociologie. De term groep wordt in de sociologie gebruikt voor ieder naar zijn aard betrekkelijk vast en duurzaam verband, dat in een bepaald opzicht een aantal mensen verenigt. Ofschoon het in diverse talen nog steeds wordt gehanteerd, als meest voor de hand liggende term, hebben zich hiernaast andere uitdrukkingen ontwikkeld: in het Duits b.v. Gebilde, Gesellungsform, in het Engels b.v. social networks, interaction unit, terwijl in het Nederlands termen als figuratie, relatienet, structuureenheid, collectiviteit als zodanig fungeren. Daarbij doet zich de tendens voor om het begrip groep te reserveren voor het kleine groepsverband.
Grotere verbanden noemt men nog wel groep, wanneer zij geacht worden onder een zekere zware druk van de omstandigheden te staan, zoals minderheidsgroepen, traditionele stamverbanden en statusgroepen. litt. J.Bierens de Haan, Gemeenschap en maatschappij (1938); G.Homans, The human group (1951; Ned. vert. Individu en gemeenschap); H. Proesler en K.Beer, Die Gruppe (1955); E.K.Francis. Wissenschaf tliche Grundlagen soziologischen Denkens (1957); P.Hofstätter, Gruppendynamik (1957; Ned. vert.); W.Sprott, Human groups (1958; Ned. vert.); D.Cartwright en A.Zander, Group dynamics (2e dr. 1960); D.C.Dunphy, The primary group (1972).
wiskunde. Een verzameling G is een groep met operatie: *, notatie: [G,*], als op G een operatie * is gedefinieerd die aan elk geordend paar elementen (a,b), waarbij aєG en bєG, een element a* b van G toevoegt, en voldaan is aan de voorwaarden:
1. de associatieve wet (a*b)*c = a*(b*c);
2. er bestaat een element eєG (neutraal of een-element) met de eigenschap a*e = e*a = a ∀aєG; 3. bij elke a€G bestaat een element, de inverse van a notatie: a-l, met de eigenschap a*a-1 = a-1*a = e.
Er bestaat slechts één zo’n element e en bij gegeven a is a-1 eenduidig bepaald. Als de operatie * de eigenschap heeft dat a*b = b*a (∀aєG, bєG) dan noemt men de groep commutatief of abels. Een verzameling met een binaire operatie waarvoor alleen de associatieve wet geldt noemt men een semigroep of half groep. Een semigroep met een één-element noemt men een manoïde. De operatie wordt ook wel aangegeven met andere tekens: x of o of • of +. Deze laatste notatie gebruikt men vaak speciaal bij abelse groepen en men zegt dan dat de groep additief geschreven is in tegenstelling tot de andere gevallen waar men van een multiplicatieve schrijfwijze spreekt.
Indien de groep additief geschreven wordt, noteert men het neutrale element als 0 (nul-element) en de inverse van a als —a (het tegengestelde). Het operatievoorschrift kan men overzichtelijk aangeven in de vermenigvuldigingstabel van Arthur →Cayley. Men noemt G de drager van de groep. Het aantal elementen in een groep noemt men de orde van de groep.
Voorbeelden van groepen waarbij de drager een verzameling getallen is, zijn:
1. de additieve groep [Z, +] van de gehele (rationele) getallen Z met optelling als operatie; d.i. een abelse groep;
2. de multiplicatieve groep [Q+, x] van de positieve rationele getallen met de vermenigvuldiging als operatie.
Een groep waarbij de drager geen verzameling getallen is, krijgt men als volgt: beschouw de zes verschillende permutaties van een verzameling van drie elementen. Indien men de elementen van de verzameling aangeeft met a, b en c en de permutatie die a,b,c resp. overvoert, b.v. b,c,a, aanduidt als (abc/bca) dan zijn de bedoelde zes permutaties є: (abc/abc), σ: (abc/bca),Τ: (abc/cab), ⍺: (abc/acb), 𝛽: (abc/cba) en y; (abc/bac). Wanneer men nu het produkt van twee permutaties 𝜋1 en 𝜋2 definieert als eerst 𝜋2, dan 𝜋1 toepassen, dan verkrijgt men een groep met de Cayley-tabel 1.
Algemeen noemt men de zo verkregen groep van permutaties van een verzameling van n elementen de symmetrische groep van elementen, notatie Sn de orde van Sn is n!.
Het begrip groep maakt het mogelijk de symmetrie van een figuur te beschrijven. B.v. de rechthoek abcd (afb); deze rechthoek kan op vier manieren met zichzelf tot dekking gebracht worden nl.:
1. door hem onveranderd te laten (є);
2. door wenteling om de as gaande door de middens van ab en cd (𝜶);
3. door wenteling om de as door middens van ad en BC (𝛽);
4. door wenteling over 180° om een as gaande door het middelpunt van abcd, loodrecht op het vlak van abcd. Deze dekafbeeldingen kunnen we tot een groep maken door weer te definiëren 𝜶*𝛽 als eerst 𝛽, dan 𝜶. Dit levert de Cayley-tabel 2.
Men noemt deze groep van de rechthoek ook wel de niergroep van Klein.
groep, WISKUNDE. De vier manieren waarop een rechthoek met zichzelf tot dekking gebracht kan worden Algemeen kan men bij een willekeurige regelmatige n-hoek de groep van de dekafbeeldingen construeren, zo ontstaan diëdergroepen. Op analoge wijze kan men de groep van de dekafbeeldingen van een regelmatig veelvlak construeren. Voor een regelmatig viervlak bestaat deze uit wentelingen om assen gaande door de middens van twee kruisende ribben en wentelingen om hoogtelijnen. Dit aspect van de groepentheorie is van belang o. a. voorde kristallografie en de natuurkunde. Het belang van het begrip groep werd voor het eerst ingezien door E. →Galois.
LITT. B .L. van der Waerden, Algebra (5e dr. 2 dln. 1967); J.J.Rotman, Theory of groups (3e dr. 1968).
