[E.→Galois, Frans wiskundige], wiskundige theorie die zich bezighoudt met de wortels van de algebraïsche vergelijking (f(x) = xⁿ + a₁xⁿ-1 + ... + aⁿ_₁x + aⁿ = 0) waarvan de coëfficiënten verondersteld worden algebraïsche getallen te zijn. Alle getallen, die door rationale bewerkingen (optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling) uit de coëfficiënten van de vergelijking en de rationale getallen kunnen worden verkregen, vormen een algebraïsch →getallenlichaam L. Het is niet altijd mogelijk, om het linker lid f(x) van de vergelijking te ontbinden in een produkt van factoren (x — a₁) (x a2) ... (x an) van de 1e graad met coëfficiënten die tot L behoren (b.v. als f(x) = x2 — 2 en L het lichaam der rationale getallen is). Misschien wordt het echter mogelijk om f (x) in factoren te ontbinden, indien men als coëfficiënten ook toelaat de getallen van een getallenlichaam K dat omvattender is dan L b.v. als K het lichaam van alle getallen is, die door rationale bewerkingen kunnen worden verkregen uit √2 en de rationale getallen, waardoor x2 — 2 ontbindbaar wordt: x2 — 2 = (x — √2)(x + √2).
De Galois-theorie geeft een procédé aan om in het algemene geval een dergelijk lichaam K te bepalen. Daartoe beschouwt men het lichaam M van alle getallen, die door rationale bewerkingen uit de rationale getallen, de coëfficiënten a₁, a2 ..., an en de wortels a₁, a2, ..., an van de vergelijking kunnen worden verkregen. Onder L-automorfismen verstaat men die →permutaties φ van M, die de getallen van L onveranderd laten en bovendien de eigenschap hebben, dat indien de getallen a, b, a+b en ab van M resp. in φ(a), φ(b), φ(a+b) en φ(ab) worden overgevoerd, steeds geldt φ(a) + φ(b) = φ(a+b) en φ(a)・φ(b) = φ(ab). Deze automorfismen permuteren de wortels aq, a2 ..., an onder elkaar. Er zijn er slechts eindig veel (hoogstens n!) en ze vormen een eindige →groep. Het onderzoek van deze groep (de zgn. groep van Galois, behorende bij de gegeven algebraïsche vergelijking) levert nu een procédé om door successievelijke uitbreiding van het lichaam L tenslotte te geraken tot een lichaam K, waarin f(x) geheel in lineaire factoren uiteenvalt. Daarbij wordt de oplossing van de oorspronkelijke vergelijking teruggebracht tot de oplossing van een aantal eenvoudiger vergelijkingen, die resolventen worden genoemd. Deze Galois-theorie is de basis van de moderne algebra.
LITT. I.Stewart, Galois theory (1973).
