Axiomatiek - leer der in de wiskunde onmiddellijk gegeven grondbegrippen en grondbetrekkingen en der wijze, waarop de wiskunde zich daaruit laat opbouwen.
De klassieke methode, bijv. voor de meetkunde door Euclides gevolgd, gaat daarbij van de gegeven begrippen uit en tracht axioma’s op te stellen, welke het wezen ervan bepalen. De moeilijkheid is dan, dat men, op grond van de aanschouwing, ongemerkt niet uitdrukkelijk geformuleerde en eventueel niet voldoende gecontroleerde eigenschappen der wiskundige objecten mede in de bewijsvoering gebruikt. Zoo is het bijv. eerst omstreeks 1880 aan M. Pasch gelukt om het, naast de axioma’s van dragen, die de onderlinge betrekkingen tusschen punt, lijn en vlak bepalen, reeds stilzwijgend ingevoerde axioma van cyclische ordening als onafhankelijk en dus nieuw toe te voegen axioma te ontdekken. G. Fano ontwierp daarna (1891) een meetkunde enkel uit de axioma’s van dragen. Het zgn. postulaat van evenwijdigheid is het axioma van Euclides, dat het meest omstreden werd. Bolyai en Lobatschewskij construeerden volledige meetkunden, waarvoor het axioma niet geldt; zij worden daarom niet-Euclidische meetkunde n genoemd.
De technische axiomatiek der nieuwere wiskunde maakt zich geheel los van de aanschouwing, en stelt axioma’s op over niet nader verklaarde wiskundige objecten, welke eerst door de axioma’s beteekenis krijgen, ongeveer zooals de onbekenden, door het stel algebraïsche vergelijkingen, waarin zij optreden. De beteekenis der objecten, evenals die der axioma’s zelf en wat er uit is af te leiden, blijft onbekend, en het geheel blijft zoodoende louter formeel. Zoo worden wiskundige objecten (die men met den naam „getal” blijft benoemen) bepaald door vsch. eigenschappen van het bekende getallensysteem, bijv.: associativiteit, commutativiteit, distributiviteit, het zgn. beginsel van Archimedes, enz., bij axioma al dan niet aan die objecten toe te kennen. Laat zulk een object meer dan één interpretatie toe, dan spreekt men van isomorphie der zoo verkregen systemen. Het is een bezwaar van deze impliciet gedefinieerde objecten, dat de mogelijkheid, d.w.z. de mathematische existentie ervan, moet worden aangetoond. Dit veronderstelt voor de axioma’s het bewijs van hun niet-strijdigheid, in den regel door de constructie van een getallenmodel, waarbij dan de rekenkunde voorloopig als intuïtief of logisch gewaarborgd wordt aanvaard.
De axiomatische methode, welke van bewonderenswaardige scherpzinnigheid getuigt, is noodzakelijk om de structuur en innerlijken samenhang der wiskunde open te leggen. Kennistheoretisch kan men tegen de moderne radicale axiomatiek (met name van Hilbert) doorslaande bezwaren maken. Zij kan, zonder de aanschouwing weer in te roepen, geen beteekenis meer geven aan de afgeleide stellingen, die zoodoende ook niet meer kunnen worden toegepast op de natuur, tenzij als hypothese. Dat het niettegenstrijdigheidsbewijs voor de axioma’s de mathematische existentie waarborgt, op welker onderstelling deze axiomatiek berust, wordt o.a. door L. E. J. Brouwer niet aanvaard. Bovendien wordt in deze axiomatiek het voornaamste kennistheoretische probleem der wiskunde, omtrent het apodictische onzer aanschouwelijke wiskundige inzichten en de waarde ervan, niet opgelost, maar juist vermeden.
Lit.: A. N. Whitehead and B. Russell, Principia Mathematica (3 dln. Cambridge 1925); H. Weyl, Philosophie der Matematik und Naturwissenschaft (Berlijn 1927) met literatuuropgave. Voor deze laatste zeer uitvoerig: G. Loria, Il Passato e il Presente delle principali Teorie geometriche (Padua 1931, 406 vlg.); D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie (Leipzig 1930); vgl. J. H. Tummers, Zur Axiomatik der Hilbertschen Geometrie, Chr. Huygens (X 932). Drost.