een uitbreiding van de eindig-dimensionale euclidische ruimten uit de lineaire algebra. De uitbreiding bestaat voornamelijk uit het feit dat de ruimten geen eindige dimensie bezitten. Zij vormen de belangrijkste klasse van ruimten uit de functionaalanalyse. De exacte definitie luidt: een genormeerd lineaire ruimte is een lineaire ruimte waarin een norm is ingevoerd; d.w.z. aan ieder element x uit de lineaire ruimte is een reëel getal ‖x‖ toegevoegd zodanig dat de volgende voorwaarden zijn vervuld:
1. Voor ieder paar elementen x en y uit de lineaire ruimte geldt:
‖x + y‖ ≦ ‖x ‖ + ‖y‖
2. Voor ieder element x uit de lineaire ruimte en iedere scalair λ geldt:
‖λx‖ = |λ| ‖x ‖
3. Het nulelement is het enige element uit de lineaire ruimte dat een norm gelijk aan nul heeft. Het begrip ‘norm’ is een abstractie van het begrip ‘lengte’ uit de meetkunde. Een speciale klasse van genormeerd lineaire ruimten wordt gevormd door de banachruimten; een banachruimte is een volledige, genormeerd lineaire ruimte; d.w.z. iedere fundamentaalrij in de ruimte is convergent, een voor de functionaalanalyse belangrijke eigenschap die de klassieke eindig-dimensionale ruimten bezitten.
Een andere klasse van genormeerd lineaire ruimten bestaat uit de inwendig-produktruimten. Hierin is, behalve een norm, ook een met de norm harmoniërend inwendig produkt gedefinieerd. Een inwendig produkt vervangt het begrip ‘hoek’ uit de meetkunde. Zo kan in een inwendig-produktruimte gesproken worden over bijv. het orthogonaal zijn der elementen. Een ruimte die tot beide voorafgaande klassen behoort noemt men een hilbertruimte, d.w.z. een hilbertruimte is een volledige inwendig-produktruimte. Door de verdergaande specialisatie bezitten hilbertruimten een structuur die hen voor toepassingen bij uitstek geschikt maken (in het bijzonder in de quantummechanica).