[Gr. sfairos, bol], v./m. (-sferen), een omwentelingsoppervlak dat ontstaat door wenteling van een tractrix om haar asymptoot. De pseudosfeer is het eenvoudigste voorbeeld van een oppervlak met constante negatieve kromming.
Daarom heeft zij met de meer bekende oppervlakken van constante kromming, zoals de bol (constante positieve kromming) en het platte vlak (constante kromming nul), de eigenschap gemeen dat een willekeurige figuur op het oppervlak in iedere richting over het oppervlak kan worden verplaatst.Het equivalent op de pseudosfeer van een driehoek in het platte vlak wordt gevormd door de geodetische lijnen op de pseudosfeer (dit zijn de kortste verbindingslijnen van de punten op de pseudosfeer). Op een pseudosfeer kan een meetkunde worden opgebouwd die sterke analogie vertoont met euclidische meetkunde van het platte vlak, maar waarbij het parallellenaxioma niet geldt. In deze meetkunde is de som van de hoeken van een driehoek kleiner dan 180°. E.Beltrami heeft in 1868 op de mogelijkheid gewezen om op deze wijze de niet-euclidische meetkunde van Lobatsjevski en Bolyai in de euclidische ruimte te realiseren, waarmee het afdoend bewijs geleverd was dat de nieteuclidische meetkunde vrij is van tegenstrijdigheden. F.Klein wees echter een gebrek van de Beltrami-afbeelding aan, nl. dat verschuiving tot in het oneindige niet in elke richting mogelijk is, omdat deze belemmerd wordt door de keerkromme van het oppervlak van de pseudosfeer.
