(ook: numerieke wiskunde), tak van de wiskunde die de methoden om problemen door middel van becijfering op te lossen, bestudeert. Voor de komst van de computer waren de mogelijkheden van de numerieke analyse, m.n. de praktische uitvoering van de methoden (die vaak zeer vele berekeningen vragen) zeer beperkt.
De rekenaar maakte veelvuldig gebruik van tabellen (o.a. logaritme-en sinustafels) en verdeelde daarom zijn rekeninterval zoveel mogelijk in gelijke stukken, wat de mogelijkheden van de methoden nogal beperkt. Met de komst van de computer zijn er nieuwe methoden ontwikkeld. Het belang van de tabel is sterk achteruitgegaan, doordat een computer in het algemeen sneller een waarde (van b.v. een logaritme) met een approximatiemethode kan benaderen dan deze waarde in een in zijn geheugen opgeborgen tabel opzoeken. Ook maken computers het mogelijk aanzienlijk grotere en complexere problemen aan te pakken. De theorie van de numerieke methoden tracht verschillende bestaande methoden onder te brengen in een algemeen schema, zodat de eigenschappen van deze methoden beter begrepen worden, de methoden wellicht op een grotere klasse van problemen toepasbaar worden en wegen worden aangegeven om nieuwe methoden te ontwikkelen. Bij de ontwikkeling van numerieke methoden voor een bepaalde klasse van problemen moet aan uitzonderingssituaties gedacht worden, moet de nauwkeurigheid van de methode worden bestudeerd (voortplanting van afrondingsfouten, fout) en moet worden aangegeven hoe gestart kan worden en hoe bij oneindig doorlopende methoden moet worden gestopt.
Voorts is het gewenst dat aangegeven wordt voor welke klasse van problemen de nieuwe methode is te prefereren boven reeds bestaande methoden. Bij het feitelijk uitvoeren van een numerieke methode op een computer komen nog vele technische aspecten naar voren. Het rekenproces is geautomatiseerd en menselijk ingrijpen is tijdens het proces meestal niet mogelijk. Dit maakt het noodzakelijk dat alle situaties van te voren worden overdacht en in een rekenschema zijn verwerkt, de zgn. algoritme.
Het komt geregeld voor dat dezelfde methode, op verschillende wijze geprogrammeerd voor dezelfde computer en toegepast op hetzelfde probleem, tot enorme verschillen in rekentijd leidt. De programmering, meestal in ALGOL of FORTRAN, is dus van wezenlijk belang. Voor een aantal methoden zijn standaardprogramma’s beschikbaar. De voornaamste probleemgebieden waarmee de numerieke analyse zich bezighoudt zijn de volgende.
1. Het integreren van bepaalde integralen, differentiaalvergelijkingen, integraalvergelijkingen, enz.; integratieformule).
2. Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen, de inversie van matrices enz. Bekende methoden zijn de eliminatie en substitutie volgens Gauss of volgens Gauss-Jordan. Voor lineaire systemen van speciale vorm worden ook wel iteratieve methoden toegepast, b. v. de methode van Gauss-Seidel.
3. Het bepalen van eigenwaarden en eigenvectoren van een matrix. Een bekende iteratieve methode om de absoluut grootste eigenwaarde te vinden, is de zgn. machtsmethode.
4. Approximatiemethoden. Discrete approximatie vindt plaats wanneer een kromme moet worden aangepast aan gegeven waarnemingsmateriaal (kleinste kwadratenmethode); bij functieapproximatie wordt veelal getracht de maximale fout zo klein mogelijk te maken (approximatiemethode van Chebyshev).
5. Methoden voor numerieke differentiatie. Deze zijn veelal afgeleid van interpolatiemethoden. Numerieke differentiatie leidt vaak tot grote onnauwkeurigheden; het is een numeriek instabiel proces.
6. Methoden voor het oplossen van een niet-lineaire vergelijking of van een stelsel niet-lineaire vergelijkingen. Hierbij wordt veelal gebruik gemaakt van iteratieve methoden.
7. Optimaliseringsmethoden. Voorbeelden zijn het vinden van extreme waarden van een functie van meer veranderlijken.
Ook kan men denken aan een stelsel differentiaalvergelijkingen, waarin een aantal parameters voorkomt, dat zo bepaald moet worden dat aan een bepaalde voorwaarde optimaal wordt voldaan. Dit soort problemen vinden we in de wiskundige besturingstheorie. Het doel kan zijn: zo snel mogelijk of met zo min mogelijk energieverbruik iets verrichten.
Het numeriek oplossen van grote wiskundige problemen speelt in de natuurwetenschappen een belangrijke rol. In de kernfysica komen grote stelsels partiële differentiaalvergelijkingen voor, die slechts met moeite numeriek kunnen worden opgelost. Hierbij probeert men ook het fysische proces op een computer te simuleren. Bij de quantumchemie stuit men op eigenwaardebepalingen van grotere matrices, terwijl optimaliseringsproblemen van grote omvang voorkomen in de mathematische economie.
LITT. A.Ralston, Afirstcoursein numerical analysis (1965).
