v., theorie die een verklaring geeft van het ontstaan van de draagkracht op een vliegtuigvleugel en van de daarmee samenhangende geïnduceerde weerstand.
Beweegt zich een vliegtuigvleugel met constante snelheid V door zich in rust bevindende lucht, dan is het bij de botsing van de vleugel tegen de omringende luchtdeeltjes ontstane stromingsbeeld (het beeld van de banen waarlangs de uitgeweken luchtdeeltjes zich bewegen) gelijk aan het stromingsbeeld, dat zou ontstaan als die vleugel zou stilstaan en de lucht met dezelfde constante snelheid V in tegengestelde richting zou toestromen. In beide gevallen zijn de ontstane snelheids- en drukveranderingen in de luchtstroming eveneens volkomen gelijk.
Bij de verklaring van het ontstaan van de draagkracht (lift) op een vliegtuigvleugel kan dan ook worden uitgegaan van een niet-bewegende vleugel in een stationaire parallelstroming: een stroming waarin de luchtdeeltjes in evenwijdige banen bewegen en waarbij in ieder punt van de stroming de snelheid van de luchtdeeltjes, zowel naar grootte als naar richting, met de tijd niet verandert. Het vleugelprofiel (de vorm van de vleugeldoorsnede, evenwijdig aan het symmetrievlak van het vliegtuig) speelt daarbij een belangrijke rol. Bij een subsoon vliegtuig heeft het profiel in het algemeen een ronde neus en een scherpe achterrand, terwijl de profielwelving meestal positief is (de naar boven gebogen bovenkant van het profiel is sterker gekromd dan de naar beneden gebogen onderkant), dan wel, dat de onderkant van het profiel ook naar boven is gebogen. De stationaire parallelstroming splitst zich bij nadering van de vliegtuigvleugel in twee takken die zich achter de vleugel verenigen en weer als één stationaire parallelstroming verder gaan. Nu is de weg, die de luchtdeeltjes van de bovenste tak moeten afleggen, langer dan de weg, die de luchtdeeltjes van de onderste tak moeten volgen. Daardoor bereikt de luchtstroming van de onderste tak de scherpe achterrand van de vleugel het eerst.
Deze stroming wil zich echter zo spoedig mogelijk weer met de luchtstroming aan de bovenzijde verenigen, waarbij door de zeer scherpe bocht die de luchtdeeltjes moeten maken een linksom gerichte rotatiebeweging ontstaat, die spoedig in een zgn. aanloopwervel wil overgaan. In een wervelvrije stationaire parallelstroming kan echter geen wervel ontstaan zonder dat deze wervel een tegenwervel van gelijke sterkte en met tegengestelde draaizin opwekt (wet van Thompson), waardoor de ‘stroming als geheel’ rotatievrij blijft. Uit onderzoekingen is gebleken, dat deze tegenwervel optreedt als een circulatiestroming om de vleugel . De circulatiestroming vergroot de snelheid van de luchtdeeltjes aan de bovenzijde en verkleint die aan de onderzijde van de vleugel. Volgens de wet van Bernoulli wordt dan de spanning van de lucht - en derhalve de druk op de vleugelhuid - aan de bovenzijde van de vleugel kleiner en aan de onderzijde van de vleugel groter dan vóór het optreden van de circulatiestroming het geval was. Er resulteert dus een omhoog gerichte druk op de vleugel.
Is de druk in de ongestoorde parallelstroming p0 en in de stroming boven of onder het vleugelprofiel bij een bepaald punt van de geometrische profielkoorde p, terwijl in dat punt de snelheid van de luchtdeeltjes V is, dan kunnen de drukverschillen (p— p0) - meestal in verhouding tot de heersende dynamische druk, de stuwdruk q = ½p . V2 - grafisch worden uitgezet tegen de geometrische profielkoorde . p is de luchtdichtheid. In het stuwpunt S is de overdruk juist gelijk aan q. Uit het diagram blijkt, dat de grootte van de onderdruk aan de bovenzijde van het profiel die van de overdruk aan de onderzijde verre overtreft. Een vliegtuigvleugel wordt dan ook meer naar boven ‘gezogen’ dan naar boven ‘gedrukt’. Aangezien druk x oppervlakte is kracht, zal een omhoog gerichte kracht, de draagkracht L, op de vleugel gaan werken, die in horizontale vlucht evenwicht maakt met het gewicht van het vliegtuig. Door de invalshoek a van de vleugel steeds meer te vergroten (afb. 1f), wordt de weg die de luchtdeeltjes aan de onderzijde van de vleugel afleggen steeds korter en de aanloopwervel - dus ook de circulatiestroming - steeds sterker, hetgeen de druk op de vleugel en derhalve ook de draagkracht steeds meer doet toenemen. Daarbij blijkt, dat de draagkrachtscoëfficiënt C1 (zie draagkracht), bij invalshoeken gebruikt onder normale vliegomstandigheden, recht evenredig is met a
Op een vleugel met een symmetrisch profiel zal, indien de richting van de ongestoorde parallelstroming samenvalt met de symmetrie-as van het profiel, geen draagkracht optreden (de wegen boven en onder de vleugel zijn even lang). Is aan de vleugel echter een invalshoek a gegeven, dan is de weg aan de onderzijde van de vleugel korter dan die aan de bovenzijde zodat, volgens het voorgaande, wèl een draagkracht ontstaat. Zowel bij vleugels met asymmetrische als die met symmetrische profielen, kan men a niet onbeperkt vergroten. Bij de zgn. kritische invalshoek akr breekt, door de grote helling van de vleugel, de stroming aan de bovenzijde van de vleugel af (afb.1h) en ontstaat er (van achteren oplopend) een wild kolkend wervelgebied, waarvoor de wet van Bernoulli niet meer geldt. De draagkracht neemt dan ook bij akr meestal vrij abrupt af, terwijl de vleugelweerstand sterk toeneemt. Het vliegtuig is ‘overtrokken’, een situatie die vooral in de nabijheid van de grond uiterst gevaarlijk is en dan ook talrijke malen tot ernstige ongevallen heeft geleid.
Tot hiertoe is de stroming om een vliegtuigvleugel als tweedimensionaal beschouwd, met stroomsnelheden en krachten werkend in het vlak van de aangeduide vleugeldoorsnede. Daarbij is er in feite van uit gegaan, dat de vleugel oneindig lang is en overal dezelfde doorsnede heeft (dan is er geen onderlinge beïnvloeding van de stromingen om de verschillende doorsneden). In werkelijkheid heeft een vliegtuigvleugel een eindige lengte en zal de lucht ook om de vleugeleinden heen van onderen naar boven stromen. Het drukverschil, dat daar tussen de lucht aan de bovenzijde en de lucht aan de onderzijde van de vleugel bestond, zal door deze omstroming worden vereffend. Met andere woorden, aan de vleugeleinden zal de draagkracht en dus ook de circulatiesterkte (wet van Joukowski) gelijk nul worden. Onder de circulatiesterkte l wordt verstaan het produkt van de weg die de luchtdeeltjes volgen, en hun snelheid in de richting van de weg (of nauwkeuriger:
Γ = ∮w ds, waarin ∮ het teken voor de integraal langs een gesloten lijn is, s de lengte van deze lijn en w de tangentiële snelheid langs ds). Hoe dichter bij het midden (de wortel) van de vleugel, des te kleiner wordt de invloed van de stroming om de vleugeleinden op de circulatiestroming om het vleugelprofiel, zodat de circulatiesterkte daar haar grootste waarde Γ0 zal bezitten (afb.7).
Uit de oorspronkelijke stationaire parallelstroming van ver voor de vleugel ontstaat, onder invloed van de randof tipwervels gevormd bij de omstroming van de vleugeleinden (afb.9a), een neerwaartse beweging ver achter de vleugel, de zgn. neerstroming. Deze beweging ver achter de vleugel heeft bij een elliptische verdeling van de circulatiesterkte en daarmee ook van de draagkracht over het vleugeloppervlak, beschouwd langs de spanwijdte b van de vleugel, een voor alle punten van b gelijke verticale snelheid μ = Γ0/(2b). De circulatiesterkte Γx + Δx op een afstand x + Δx van het midden van de vleugel is kleiner dan de circulatiesterkte Γx op een afstand x van dat midden. Wordt de vermindering van de circulatiesterkte over de afstand Δx weergegeven door ΔTX, dan vertegenwoordigt ΔTX een zekere hoeveelheid circulatie (energie) die van de vleugel naar de lucht achter de vleugel wordt afgeleid (afb.8). Denkt men zich de afstand Δx oneindig klein, dan stelt ΔTX de hoeveelheid circulatie voor, die op een afstand x van het midden van de vleugel wordt afgeleid. De ‘weggelekte’ circulatie wordt achter de vleugel weer teruggevonden in de vorm van wervellijnen: denkbeeldige lijnen, waaromheen de luchtdeeltjes zich - in vlakken loodrecht op deze lijnen - volgens cirkelvormige banen (met omtrekssnelheid maal straal is constant) voortbewegen.
Al deze om wervellijnen cirkelende luchtdeeltjes vormen te zamen een wervelband die zich achter de vleugel (van de zijkanten uit) geleidelijk aan oprolt en overgaat in een paar wervelvlechten, die op den duur door inwendige wrijving verloren gaan. Uitgaande van de wet van Joukowski volgt, door sommering van het oneindig aantal strookjes waaruit de halve ellips in afb.7 kan worden gedacht te zijn opgebouwd, dat L = ρ . V . oppervlakte halve ellips L = ρ . V . ½ π . ½ b . Γ0 Hieruit volgt: Γ0 = 4 L/( π . ρ . V . b)
Daarmee wordt de bij een elliptische verdeling van de circulatiesterkte behorende, langs de gehele vleugellengte gelijke, neerstroomsnelheid: u = Γ0/(2 b) = 2 L/( π . ρ . V . b2)
Nu is (zie draagkracht) L ook gelijk aan:
L = CL . ½ ρ . V2 . S waarin S = de vleugeloppervlakte; zodat:
u = CL . V . S/(π . b2)
De neerstroomhoek ε in een punt ver achter de vleugel (afb. 13) kan dan worden berekend uit: tan ε = u/V = CL . S/(π . b2)
Ook de luchtkracht R, die loodrecht op de stroming blijft gericht (in de hiervoor beschouwde tweedimensionale stroming de draagkracht L), wordt over de hoek ε in neerwaartse richting gedraaid. Zij kan worden ontbonden in een kracht loodrecht op de parallelstroming van ver vóór de vleugel, de draagkracht L, en in een kracht evenwijdig aan deze stroming, die, omdat zij in feite door de stroming om de vleugeleinden wordt ‘ingeleid’, de geïnduceerde weerstand Di wordt genoemd. Di is een luchtkracht, dus is Di = CD,i .½ ρ . V2 . S De dimensieloze geïnduceerde weerstandscoëfficiënt CD,i is bij een elliptische verdeling van de draagkracht over de vleugelspanwijdte:
CD,i = CL2 . S/(π . b2) (hetgeen volgt uit tan ε = Di /L = CD,i /CL ). Uit S = /kgem . b, waarin /kgem de gemiddelde vleugelkoorde is, volgt dat S/b2 = kgem/b = 1ΓΆ Hierin is Ά de zgn. vleugelslankheid. Dus:
CD,i = CL2/(π . Ά). Aangezien π een constante is (3,14), is CD,i uitsluitend afhankelijk van CL en van Ά. Omdat CD,i toeneemt met het kwadraat van CL en deze recht evenredig verandert met de invalshoek α van de vleugel, kan de geïnduceerde weerstand vooral bij grote invalshoeken beduidend zijn. Uit berekeningen blijkt, dat de elliptische verdeling van de draagkracht over de vleugel, beschouwd langs de spanwijdte, de gunstigste is. Dit levert nl. voor e en CD,i de kleinste waarden op, hetgeen oorzakelijk samenhangt met de over de gehele spanwijdte gelijke neerstroomsnelheid u = Γ0/(2 b) ver achter de vleugel. Nu hangt de draagkrachtsverdeling in hoofdzaak af van de omtreksvorm van de vleugel.
Alleen een ellipsvormige vleugel geeft ook een elliptische draagkrachtsverdeling, mits daarbij de vleugelprofielen alle gelijkvormig zijn en de koorden van de profielen in één plat vlak zijn gelegen. Alle andere vleugelvormen leveren, door hun van de elliptische afwijkende draagkrachtsverdeling, voor ε en voor CD,i grotere waarden op. Overigens kan bij deze vleugels, door het toepassen van vleugelverdraaiing en/of profielvariatie, toch nog meestal een elliptische of nagenoeg elliptische draagkrachtsverdeling worden bewerkstelligd.
In het voorgaande is geen rekening gehouden met de inwendige wrijving tussen de luchtdeeltjes in een luchtstroming. Wordt dit wel gedaan, dan blijkt een extra weerstand - de schadelijke weerstand - op de vleugel te werken. De invloed van de inwendige wrijving uit zich allereerst in een dunne, het vleugeloppervlak omhullende grenslaag (zie grenslaagtheorie), doordat het onmiddellijk aan het vleugeloppervlak grenzende luchtlaagje zich aan het oppervlak vasthecht. De veranderingen in de grenslaag oefenen daarna op hun beurt weer invloed uit op de zich buiten de grenslaag bevindende ‘vrije stroming’, waarin de inwendige wrijving tussen de luchtdeeltjes zelf verwaarloosbaar is en welke stroming zich dus als een ‘ideale’ luchtstroming gedraagt. De grootte van de schadelijke weerstand is sterk afhankelijk van de vorm van het vleugelprofiel, van de gladheid van de vleugelhuid en van α.
Tot nu toe is ook de samendrukbaarheid van lucht buiten beschouwing gelaten. Indien een zich in de lucht voortbewegend vliegtuig tegen de omringende luchtdeeltjes botst, zal de daardoor uitgeoefende druk op de luchtdeeltjes zich met de snelheid van het geluid in de lucht voortplanten. Daardoor zullen de luchtdeeltjes, als de geluidssnelheid groter is dan de snelheid van het vliegtuig, reeds (ver) vóór de vleugel gaan uitwijken. Is de snelheid van het vliegtuig echter juist gelijk aan de geluidssnelheid, dan botsen de luchtdeeltjes, zonder enige uitwijking vooraf, pal tegen de vleugelneus. Reeds als de snelheid van het vliegtuig de geluidssnelheid nadert, zal de voortplanting van de druk en-dus de uitwijking van de luchtdeeltjes vóór de vleugelneus geringer zijn. Met de invloed hiervan moet de constructeur, bij het ontwerpen van vliegtuigen die een kruissnelheid van meer dan de helft van de geluidssnelheid zullen hebben, rekening houden en het vliegtuig, zowel als de onderdelen waaruit het is opgebouwd, een daarvoor aangepaste vorm geven.
In het transsone (getal van Mach 0,8—1,2) en in het supersone (1,2—5) vlieggebied zullen de vleugelprofielen ‘slanker’ moeten zijn met de grootste profieldikte relatief meer naar achteren gelegen, terwijl de fraai gebogen profielneuzen van subsone vliegtuigen plaats zullen moeten maken voor ‘wigvormige’ neuzen. Voorts zal de vleugel van transsone en supersone vliegtuigen bij voorkeur als pijlvleugel of als deltavleugel moeten worden uitgevoerd.
Vaak wordt bij sterk gewelfde vleugelprofielen plaatselijk de geluidssnelheid al bereikt voordat het vliegtuig zelf deze snelheid heeft. Met deze omstandigheid moet reeds rekening worden gehouden bij vliegsnelheden van ca. 600 km/h (getal van Mach 0,5) en hoger. De daarbij optredende ‘verdichtingsstoten’ (drukgolf) verhogen de weerstand en verminderen de ‘zuigwerking’ aan de bovenzijde van de vleugel, waardoor CL, max belangrijk kleiner wordt. Dit laatste wordt nog bevorderd door een zich bij de geluidssnelheid voordoende afzwakking van de overdruk aan de onderzijde van de vleugel. Bij snelheden boven die van het geluid treden schokgolven op, die een grote golfweerstand veroorzaken. [L.A.de Lange]
LITT. L.A.de Lange, Aërodynamica-stromingsleer (1942); L.Prandtl, Strömungslehre (1944); L.M.Milne-Thomson, Theoretical aerodynamics (1948); F.Dubs, Aerodynamik der reinen Unterschallströmung (1954); F.Dubs, Hochgeschwindigkeitsaerodynamik (1961); L.J.Clancy, Aerodynamics (1975).