Breuken of gebrokens in de cijferkunst zijn cijfers, die één of meer van het aantal deelen aanwijzen, waarin men zich voorstelt, dat een geheel gesplitst is. Dien ten gevolge moet eene breuk in hare eenvoudigste gedaante uit twee getallen bestaan, namelijk uit één, dat aanwijst in hoeveel deelen het geheel verdeeld is, of de noemer, en één, dat aanduidt hoeveel van die deelen men neemt, of de teller. Is een geheel bij voorbeeld in 4 deelen gesplitst en neemt men daarvan 3, dan schrijft men de breuk in den vorm van ¾.
Men heeft eenvoudige en zamengestelde breuken. Bij de eerste zijn teller en noemer geheele, en bij de laatste teller of noemer of beide gemengde of gebrokene getallen. De eenvoudige breuken zijn weder verdeeld in eigenlijke, bij welke de teller kleiner is dan de noemer, en in oneigenlijke. Ook heeft men eenige soorten van oneigenlijke breuken, zooals die de eenheid tot noemer hebben en dus inderdaad geene breuken zijn, die 0 tot teller hebben en dus geene waarde, of 0 tot noemer en alzoo eene oneindige waarde, of 0 tot teller en noemer en alzoo eene onbepaalde waarde bezitten.
De breuk in de cijferkunst onderscheidt zich van de gebrokene vormen in de stelkunst, doordien deze in den regel geene deelen van een geheel aanwijzen, maar eene niet volvoerde deeling voorstellen.
De waarde eener breuk verandert niet, wanneer men teller en noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigt. Multipliceert men 3/4 onder en boven met 2, dan verkrijgt men 6/8; nu is het aantal deelen verdubbeld, maar de waarde van ieder deel op de helft (van vierde tot achtste deelen) verminderd, zoodat de waarde der breuk dezelfde is gebleven.
Dit maakt het optellen en aftrekken van breuken gemakkelijk. Wil men dit toepassen op 3/4 en 5/6 , dan geve men eerst door vermenigvuldiging aan beide breuken denzelfden noemer; men multiplicere bijv. 3/4 met 3, en 5/6 met 2, — men verkrijgt dan 9/12 en 10/12, die bij elkander opgeteld 19/12, en de kleinste breuk van de grootste aftrekkende 1/12 uitmaken. Heeft men onderscheidene breuken op te tellen, dan zoeke men den algemeenen noemer of het kleinste gemeene veelvoud, namelijk het kleinste getal, waarin men de noemers dier verschillende breuken zonder overschot kan deelen. Men doet dit door de noemers in factoren te ontbinden (bv. 4 in 2 x 2, en 6 in 2 x 3) en de overtollige weg te laten. In de practijk volgt men den regel, dat men de noemers doorhaalt, die in andere noemers bevat zijn en de overige door een gemeenschappelijken factor deelt en dit voortzet, waarna men eindelijk de quotiënten met de deelers vermenigvuldigt, om den algemeenen noemer te verkrijgen.
Men vermenigvuldigt de breuken met elkaâr door den teller met den teller en den noemer met den noemer te vermenigvuldigen, en daar de deeling het omgekeerde is der vermenigvuldiging, zoo keert men eenvoudig den deeler om en verrigt daarna eene vermenigvuldiging. Wil men bijvoorbeeld 3/4 deelen door 5/6 deelen, zoo vermenigvuldigt men 3/4 met 6/5, en de deeling is volbragt.
Gelijk men, zooals wij aangetoond hebben, teller en noemer eener breuk met hetzelfde getal mag vermenigvuldigen, zoo staat het ook vrij, die beiden door hetzelfde getal te deelen. Het is derhalve zaak, eene breuk te vereenvoudigen door teller en noemer te deelen door den grootsten gemeenschappelijke factor, de grootste gemeene deeler genaamd. Men vindt dien door den teller der breuk in den noemer te deelen, daarna de rest in den teller en voorts de rest telkens in den voorgaanden deeler. De deeler, die opgaat, is de grootste gemeene deeler, en gaat geen deeler op, dan is de breuk niet voor vereenvoudiging vatbaar.
Dikwijls is het van belang eene breuk met een grooten teller en noemer tot eenvoudiger gedaante te herleiden, — hetgeen gemakkelijk geschieden kan, wanneer eene benaderingswaarde voldoende is. In dat geval mag men het cijfer van teller of noemer een weinig verhoogen of verlagen, zoodat daarna de breuk vatbaar is voor vereenvoudiging. Men houde daarbij in het oog, dat evene getallen deelbaar zijn door 2, — zij, bij welke de som der cijfers gedeeld kan worden door 3, desgelijks door 3, — zij, die op een 0 of 5 eindigen, door 5, — zij, wier opgetelde cijfers deelbaar zijn door 9, desgelijks door 9, — en zij, waarvan de som der cijfers, die van de regterhand af op de oneffene plaatsen staan, verminderd met de som der cijfers die op de effene plaatsen staan, door 11 deelbaar is, desgelijks door 11.
Eene kettingbreuk of gedurige breuk is eene zoodanige, wier noemer is zamengesteld uit een geheel getal met eene breuk, terwijl deze laatste wederom een geheel getal met eene breuk tot noemer heeft enz. Zij heeft alzoo do volgende gedaante:
x = + 1/5 + 1/2 + 1/7 + enz.
De eerste termen of eenige termen vormen de naderingsbreuk; het is duidelijk, dat men te digter bij de waarde der breuk komt naar mate men grooter aantal termen neemt. Men heeft eindige en oneindige kettingbreuken.
Men onderscheidt de breuken trouwens in gewone, zooals de tot nog toe door ons besprokene, en in tiendeelige of decimale breuken, welke dien naam dragen, omdat zij het getal 10 of eene der volgende magten van 10 tot noemer hebben. Die magten zijn 100, 1000, 10000, 100000 enz.; omdat men dit weet, worden de noemers eenvoudig weggelaten, en de plaats van den teller achter het decimaalpunt bepaalt alsdan, welke magt van 10 hij tot noemer heeft. De tiendeelige breuk 0,3456 is derhalve gelijk aan 3/10 + 4/100 + 5/1000 + 6/10000. De tiendeelige breuk wordt in eene gewone herleid, wanneer men den noemer — in het laatste geval 10000, zoodat men 3456/10000 verkrijgt — er nevens schrijft en daarna, zoo mogelijk, de breuk vereenvoudigt. Omgekeerd herleidt men gewone breuken tot tiendeelige door den noemer in den teller te deelen en de deeling voort te zetten totdat zij opgaat of totdat dezelfde cijfers in dezelfde volgorde terugkeeren, zoodat de breuk eene repetérende wordt.
Simon Stevin, de leermeester van prins Maurits, is de eerste geweest, die zich van tiendeelige breuken bediende, zooals blijkt uit een werk, in 1585 door hem uitgegeven. Men meent echter, dat zij reeds in het midden der 15de eeuw door J. Muller of Regiomontanus zijn uitgevonden. Het gebruik van tiendeelige breuken geeft in berekeningen een groot gemak, daar zij in overeenstemming zijn met ons getalstelsel. Gelijk bij geheele getallen de eenheid van ieder volgend getal — van de regter- naar de linkerhand — eene tienmaal hoogere waarde heeft dan de eenheid van het voorgaande, zoo heeft achter het decimaalpunt of de comma — dus van de linker- naar de regterhand — de eenheid van elk volgend cijfer eene tienmaal geringere waarde dan de eenheid van het voorgaande. Bovendien komt de behandeling van de tiendeelige breuken, namelijk hare optelling en aftrekking, vermenigvuldiging en deeling, met die der gewone getallen overeen, mits men slechts lette op de juiste plaatsing van het decimaalpunt.