Mathematische theorie der L. Deze wetenschap, ofschoon reeds gegrondvest door onzen beroemden landgenoot Jan de Witt, dagteekent als zelfstandige wetenschap ongeveer sedert 25 jaren.
Vóór dien tijd gaf zij slechts aanleiding tot enkeleberekeningen, voornamelijk van lijfrenten; maar in het laatste vierde eener eeuw heeft zij een omvang verkregen, die haar, als ’t ware,, als een geheel nieuwe wetenschap doet optreden. Zij houdt zich bezig met het samenstellen van sterfte-, invaliditeits- en ziektetafels, die zij afleidt uit statistische gegevens, welke in den tegenwoordigen tijd meer en meer worden samengesteld in overeenstemming met hare eischen. Zoo worden door den hoogleeraar Van Pesch om de tien jaren, met behulp van de uitkomsten der opvolgende tienjarige volkstellingen en in verband met de registers van den Burgerlijken Stand, sterftetafels voor de mannelijke en de vrouwelijke bevolking van Nederland vervaardigd, waarbij, met behulp der waarschijnlijkheidsrekening, gelet wordt op de grenzen der bereikte nauwkeurigheid. Met behulp van de sterftetafels en in verband met een als juist onderstelden rentevoet, levert deze wetenschap de middelen op om voor verschillende soorten van verzekering de premiën en koopsommen te berekenen. Die premiën kunnen zijn levenslang of tijdelijk, jaarpremiën of premiën in termijnen (bijv. driemaandelijksche pr.), gelijkblijvend of veranderlijk (met den duur der verzekering toe- of afnemend). De verzekeringen zelve kunnen betreffen of lijfrenten, als bijv. dadelijk ingaande levenslange rente, tijdelijke rente, uitgestelde rente, of kapitalen, als bijv. uitkeering van kapitaal bij overlijden, bij leven (wanneer men op zekeren ouderdom nog leeft), gemengde verzekering, d. w. z. kapitaal bij leven of eerder overlijden.
Ook kan de verzekering gesloten worden op het leven van meer dan een persoon, waarbij dan dikwijls de een als verzorger, de ander als verzorgde optreedt, bijv. weduwpensioenen of weduwkapitalen, studiebeurzen enz. Verder kan nog bij een verzekering bedongen worden de restitutie van betaalde premiën, ingeval de verzekerde overlijdt vóór den tijd, waarop hij van de verzekering zou kunnen profiteeren. In al deze gevallen is het de taak dezer wetenschap de premiën of koopsommen te berekenen. Men onderscheidt daarbij de netto-premiën of -koopsommen (ook wel premiën in eens genaamd), d. w. z. die, welke volstrekt noodig zijn om aan de verplichtingen van den verzekeraar, m. a. w. de verzekerende maatschappij, te kunnen voldoen, en de brutopremiën en -koopsommen, d. w. z. de eerstgenoemden van een kleine verhooging voorzien, om daardoor de administratiekosten te dekken. Deze laatsten worden ook tarief'premiën genoemd.Bij deze berekeningen maakt de verzekeraar gewoonlijk gebruik van twee verschillende sterftetafels (zie verder). Verzekeringen, waarbij een lang leven voor hem nadeelig zou kunnen zijn, zooals bijv. pensioenen, worden berekend met een sterftetafel, die een langen levensduur aanwijst (lijfrentenierstafels), verzekeringen echter, waarbij een spoedig overlijden in het nadeel van den verzekeraar zou zijn en waarbij dan ook meestal geneeskundige keuring vereischt wordt, worden berekend met behulp van sterftetafels, die een spoedige afsterving aangeven. In beide gevallen echter mogen de te kiezen tafels slechts weinig van de werkelijkheid afwijken. De premiën worden zóó berekend, dat, indien een groot aantal verzekerden van denzelfden leeftijd, dezelfde verzekering sloot, al de betaalde premiën, met daarop vallenden samengestelden interest, juist genoeg zouden zijn om al de verzekerde renten of kapitalen te voldoen. Om door een eenvoudig voorbeeld te laten zien, hoe deze berekeningen in hoofdzaak worden verricht, kiezen wij het op 60 jaar ingaande pensioen, betaalbaar aan het einde van ieder jaar, als de verzekerde dan nog leeft. Wij willen dan berekenen hoeveel een 20-jarige jaarlijks aan premie moet betalen om zich het recht op dat pensioen te verwerven.
Gebruiken wij daarbij de Hm tafel (zie verder) 3 %. Die tafel leert, dat van de 127283 geborenen op 20 jaar nog in leven zijn 96061, op 30 jaar 89685, enz. Stel nu dat aan ieder overlevende op iederen verjaardag f 1.— werd betaald, dan zou aan de 20-jarigen f 96061.— worden voldaan, waarvoor bij hun geboorte f 96061 : 1.0320 = f 53188 zou moeten aanwezig geweest zijn, om met oploopenden samengestelden interest op den leeftijd van 20 jaar de vereischte f 96061.— te vormen. Een tafel, waarin nu in plaats van het getal 96061 het getal 53188 is opgenomen en waarbij voor elken leeftijd op dezelfde wijze gehandeld is, wordt genoemd een tafel op de gedisconteerde aantallen levenden. Het getal 53188 zelf, behoorende bij 20 jaar, wordt aangewezen door D20. Zoo behoort bij den leeftijd x evenzoo Dx.
Verder geeft in laatstgenoemde tafel een kolom, welker getallen door die der vorige een voor een op te tellen gevonden wordt, de zoogenaamde sommen der gedisconteerde aantallen levenden, die door N worden voorgesteld, met dien verstande, dat Nx = Dx + 1 + Dx + 2 + Dx + 3 + ... tot den hoogsten leeftijd toe. Ontvangt nu ieder der 96061 20-jarigen van af den leeftijd van 61 jaar f 1.— lijfrente, dan was de contante waarde van al die lijfrenten bij de geboorte van de 20-jarigen D61 + D62 + ... = N60. Zij nu de vereischte premie P(40|a20) (zie iets verder), dan wordt door al de 20-jarigen jaarlijks deze premie betaald tot op den leeftijd van 59 jaar. Van al deze betalingen zou de contante waarde bij de geboorte van de 20-jarigen geweest zijn (D20 + D21 +... + -D59) X P(40|a20) = (N19 — N59) X P(40 la20)en, daar deze contante waarde gelijk moet zijn aan die, welke wij voor de lijfrente zelve vonden, moet (N19 — N59) X P(40|a20) = N60 zijn; zoadat voor de premie gevonden wordt P(40|a20) = N60 / (N19 - N59).
Op dergelijke wijzen worden ook de premiën en koopsommen voor andere verzekeringsvormen bepaald. Wanneer een verzekering eenigen tijd bestaan heeft, is het bedrag der nog te betalen premiën niet voldoende om de loopende risico te dekken. Een 40-jarige, die een verzekering sluit, moet bijv. voor een uitkeering bij overlijden een hooger jaarpremie betalen, dan een 40-jarige voor hetzelfde zou moeten voldoen, die reeds 10 jaar verzekerd is. Daarom moet de verzekeraar voor laatstgenoemde een zeker bedrag gereserveerd hebben, waardoor eerstgenoemde in staat gesteld wordt de nog te betalen premiën tot het bedrag der bedoelde hoogere premie aan te vullen. Zoo moet voor elke verzekering jaarlijks de reserve bepaald worden. Deze reserve is wel te onderscheiden van hetgeen men in den handel gewoonlrjk onder dat woord verstaat.
Bij de verzekeringswetenschap geldt het een nauwkeurig wiskundig berekend bedrag, waarmede jaarlijks bij het opmaken van de balans eener maatschappij rekening dient te worden gehouden en welk bedrag niet alleen afhangt van de verzekerde kapitalen en renten, maar ook van den aard en den duur der contracten. Bij oude maatschappijen en bij maatschappijen, die veel posten tegen koopsommen of die veel lijfrenteposten sluiten, moet de reserve zeer aanzienlijk worden, omdat daar het risico, dat gedekt moet worden, eveneens zeer groot is. Die reserve, veelal wiskundige-reserve genoemd, kan zijn brutoreserve, netto-reserve of reserve op reservepremiën. De eerste is de laagste en stelt tegenover de verplichtingen van den verzekeraar zijn rechten in den vorm van de contante waarde van al de nog te ontvangen brutopremiën. Over alle toekomstige premieopslagen is dan reeds beschikt; zoodat de verdere administratie gedekt moet worden door nieuw te sluiten verzekeringen. Deze reserve wordt slechts gebruikt door maatschappijen, die tijdelijk in moeilijke omstandigheden verkeeren.
De tweede stelt tegenover de verplichtingen alleen de netto-premiën en is in de meeste gevallen de hoogste. De opslagen op de nog te betalen premiën kunnen dan geheel gebruikt worden voor toekomstige administratie. De derde stelt tegenover de verplichtingen de zoogenaamde reservepremie, een premie, gelegen tusschen de netto- en bruto-premie in. De reservepremie is de netto-premie, verhoogd met de aflossing van de bij het sluiten te maken aanbreng- en keuringskosten, terwijl bij de bruto-premie bovendien nog zit de noodzakelijke administratiekosten voor de toekomst. Men kan, wat op hetzelfde neerkomt, óf laatstgenoemde reserve gebruiken, óf de netto-reserve met een aflossingsreserve als tegenboeking. Door de concurrentie daartoe geleid, kan men bij de meeste maatschappijen, na enkele jaren verzekerd te zijn, bij een zeker aantal tarieven afkoop, premievrije polis of beleening op de polis verkrijgen.
In elk dezer gevallen wordt uitgegaan van een zeker deel der reserve, bijv. 3/4 Vö en in bepaalde gevallen is daarbij keuring van den verzekerde een vereischte. Bij afkoop wordt de verzekering vernietigd met terugbetaling aan den verzekerde van genoemd deel van de reserve. Bij premievrije polis wordt genoemd deel van de reserve als een koopsom voor dezelfde soort van verzekering, maar tegen een kleiner bedrag, beschouwd. Dat bedrag wordt dan in plaats van het oorspronkelijke op de polis vermeld; terwijl de verzekerde alsdan van verdere premiebetaling verschoond is. Beleening kan in vele gevallen op de polis plaats hebben beneden het bedrag van ovengenoemd reservedeel; doch alleen in die gevallen, waarin de reserve stijgende blijft (althans niet daalt) tot op het oogenblik van uitkeering. Zoo is beleening mogelijk op de gewone levensverzekering, d. w. z. de uitkeering bij overlijden wanneer ook, doch zij is onmogelijk bijv. bij de verzekering bij leven, omdat dan bij eerder overlijden geen uitkeering geschiedt, waarmede de geleende som zou kunnen worden vereffend.
In al de genoemde gevallen wordt slechts een deel der reserve voor het aangewezen doel beschikbaar gesteld, om daarmede den invloed te neutraliseeren, die, ten nadeele van den verzekeraar, door de zoogenaamde zelfkeus zou kunnen worden uitgeoefend, d. w. z. de meestal onwillekeurigen invloed, dien de gezondheidstoestand van den verzekerde uitoefent op zijn besluit om afkoop, premievrije polis of zelfs beleening op polis aan te vragen. Zoowel door afwijkingen in afsterving als in rentevoet, verder door sommige handelsoperatiën en door zuiniger administratie dan waarop bij het vaststellen van den premieopslag gerekend was, wordt winst gemaakt. Deze winst wordt gewoonlijk voor een deel aan aandeelhouders en directeuren eener maatschappij, als uitoefenaren van het bedrijf, uitgekeerd; maar voor een groot deel, tot zelfs 80 a 90 % toe, aan de verzekerden verstrekt. Men lette hierbij echter steeds op hetgeen een verzekeraar onder winst verstaat. Noemt een maatschappij bijv. winst hetgeen overblijft, nadat reeds een vast dividend aan aandeelhouders, commissarissen en directeuren is uitgekeerd, dan kan een hoog percent aan de verzekerden beloofd zijn; terwijl dat percent inderdaad aanmerkelijk lager zou zijn, indien men als winst beschouwde een bedrag, waarvan dat vaste dividend niet vooruit was afgetrokken. Zoo dient men steeds op de voorwaarden, niet minder dan op de bedragen te letten.
Een verzekering kan schijnbaar duurder en toch voordeeliger zijn, bijv. omdat de lijfrente tot op den sterfdag betaald wordt, of omdat de uitkeering plaats heeft onmiddellijk bij overlijden en niet uiterlijk drie maanden daarna (interestverlies), of omdat bij de uitbetalingen geen kosten behoeven gemaakt te worden in den vorm van fooien of bedongen kortingen, enz. Al de genoemde berekeningen maken het onderwerp uit van de mathematische theorie der levensverzekering en nog veel meer. Door haar worden zoowel de algemeene als de bizondere sterftetafels, de sterftetafels van een zelfde generatie of die van gelijktijdig levenden opgemaakt. Zij bepaalt het maximum van verzekerd bedrag, dat op een zelfde hoofd mag verzekerd worden. Het is bijv. duidelijk, dat een maatschappij, die bijv. 1000 menschen, ieder voor f 50.— uitkeering bij overlijden, verzekert en nu nog iemand verzekerde voor f 1000000.—, ten gronde zou gaan, als juist die ééne spoedig kwam te overlijden. Verder houdt de mathematische theorie zich bezig met het risico door afwijkingen tusschen de werkelijke en de te verwachten sterfte, berekeningen voor invaliditeitsverzekeringen en ziekteverzekeringen, gemeentepensioenfondsen, enz.
Aan de meeste verzekeringsmaatschappijen of rijks- of gemeentelijke pensioenfondsen zijn verbonden wiskundige-adviseurs of actuarissen, waarbij de eerstgenoemden meestal slechts adviseerend optreden en als hoofd van het mathematisch bureau der maatschappij, de laatsten bovendien meer met den geheelen omvang van het bedrijf in aanraking komen. In Engeland, de bakermat van het verzekeringswezen, bestaat een belangrijke instelling onder den naam van „Institute of Actuaries”, waar de geheele verzekeringswetenschap, dus niet alleen de mathematische theorie, wordt onderwezen en waar actuarissen worden gevormd. In de meeste landen, zoo ook in Nederland, bestaan vereenigingen van actuarissen, ten onzent de Vereeniging van WiskundigeAdviseurs bij Nederlandsche Maatschappijen van Levensverzekering, die onder redactie van Dr. G. J. D.
Mounier en Corneille L. Landré een driemaandelijksch tijdschrift onder den naam van „Archief” uitgeeft, waarvan reeds zeven deelen verschenen zijn. De genoemde vereenigingen houden ongeveer om de twee jaren een internationaal congres, voor ’t eerst te Brussel 1895, daarna te Londen 1898, te Parijs 1900 en te New-York 1903. In deze congressen is een algemeene notatie voor het algebraïsch teekenschrift op het gebied van levensverzekeringswiskunde aangenomen, waarvan wij hierboven reeds gebruik gemaakt hebben. P(40la2d) beteekent daarin: de jaarpremie voor een verzekering, die tot koopsom heeft 40k‘ o en deze is de verzekering voor een 20-jarige van een lijfrente, ingaande na 40 jaar, dus als de verzekerde den ouderdom van 60 jaar bereikt heeft. De uitbetaling heeft dan het eerst plaats na verstrijking van het eerste jaar, dus op den leeftijd 61.
Behalve aan het reeds genoemde „Institute of Actuaries” wordt de verzekeringswiskunde aan verschillende buitenlandsche universiteiten door daarvoor benoemde hoogleeraren behandeld, .zoo o. a. aan de universiteit te Berlijn. In ons land bestaan daarvoor tweeërlei instellingen. Vooreerst wordt aan de Utrechtsche universiteit in deze wetenschap door een privaat-docent college gegeven, meer speciaal ten dienste van studenten in de wis- en natuurkundige faculteit en vervolgens vanwege bovengenoemde Vereeniging van WiskundigeAdviseurs zijn er opleidingscursussen voor candidaat-actuaris te Amsterdam (leeraren Dr. J. P. Janse en Corneille L.
Landré) en te Utrecht (Dr. G. J. D. Mounier, tevens privaatdocent aan de Rijksuniversiteit aldaar). Wat de literatuur over de verzekeringswiskunde betreft, een literatuur zoo rijk, dat er een bibliotheek mede kan worden gevuld, noemen wij in de eerste plaats: Em.
Dormoy, Théorie mathémaiique des assurances sur la vie (2 vol., Paris 1878), Dr. H. Poterin du Motel, Théorie des assurances sur la vie (Paris 1899, streng wiskundig), Corneille L. Landré, Mathematisch-technische Kapitel zur Lebensversicherung (2e Aufl., Jena 1901, een standaardwerk), P. Schouten, Die Principien der Lebensversicherungs-Mathemalik (Jena 1903, voor eerstbeginnenden, ook in ’t Hollandsch te Utrecht bij Van der Post versehenen), Dr. A.
Zillmer, Die mathematischen Rechnungen bei Lebens- und Rentenversicherung (2e Aufl., Berlin 1887, eenvoudig en rijk aan verzekeringsvormen, elementaire wiskunde), Dr. C. Bremiker, Das Risiko bei Lebensversicherungen (Berlin 1859), Prof. Dr. Theod. Wittstein, Das mathematische Risiko der Ver Sicherung sgesellschaften, sowie aller auf dem Spiele des Zufalls beruhenden Institute (Hannover 1885).
Belangrijke stukken over ziekenfondsen bevat het bovengenoemde ,,Archief’. Over sterftetafels kan men de dissertatie van Dr. J. P. Janse, benevens verschillende geschriften van Prof. Van Pesch nalezen; terwijl over rijksen gemeentepensioenfondsen de verschillende rapporten van opvolgende staatscommissiën te raadplegen zijn, in welke de hoogleeraren Dr.
Van Pesch en Dr. Van Geer de mathematische kwestiën behandeld hebben. Voor gemeentepensioenfondsen kan het groote standaardwerk van Dr. Mounier dienen, dat aanvankelijk een rapport aan Burgemeester en Wethouders der gemeente Zwolle, door den Gemeenteraad is uitgegeven tot algemeene voorlichting op dit gebied.
De voornaamste sterftetafels zijn: de tafel van Halley voor Breslau (1693), van Kersseboom voor lijfrenteniers (1742), van Nicolaas Struyck voor idem (1753), van Wargentin voor Zweden (1766), van Déparcieux (verbeterd door Florencourt) voor Frankrijk (1781), de Northampton-tafel van Dr. Price (1783, later verbeterd door Dr. Farr), de Carlisletafel van Milne (1815), van Duvillard (Frankrijk, 1806), Demontferrand (Frankrijk, geheele bevolking, 1832), de Equitable Society (G. Davies, 1825, Ch. Babage, 1826, A. Morgan, 1834), de tafel der 17 Engelsche Gezelschappen (1843), van Finlaison (1829 en 1860), van Mr.
M. M. von Baumhauer voor Nederland (1856 en 1876), de 20 Engelsche Gezelschappen, Hm (Healthy male Lives), Hf (Healthy female Lives), H»ir (Healthy male and female Lives), HmO (Healthy male Lives, omitting the first five years of assurance) (1872) [De Hm en Ht- tafels zijn veel in gebruik bij berekening van lijfrenteposten], de Duitsche sterftetafels der 23 Gezelschappen (1883), van Prof. Van Pesch (1885—1892), de tafels van 4 Fransche Gezelschappen (1890), de Belgische tafel van J. M. J. Leelerc (1894), de Duitsche rentenierstafel voor mannen en vrouwen (1891), van Prof.
Van Pesch voor lijfrenteniers (1890), van Dr. J. H. Peek voor burgerlijke ambtenaren en hunne weduwen (Nederland, 1896), Nederlandsch-Indische ambtenaren van Dr. R. H.
Van Dorsten (1899). Invaliditeitstafels en ziektetafels zijn uit den aard der zaak niet zoo talrijk. De voornaamste invaliditeitstafels zijn de zoogenaamde decremententafels der validen van Behm (voortgezet door Zimmermann), genomen voor het Duitsche spoorwegpersoneel (geheele personeel en ook treinpersoneel), benevens die van Kaan, Küttner e. a. De meest bekende ziektetafels zijn die van G. Hubbard (De l’organisation des Sociétés de prévoyance, 1852 en Essai dïune théorie rationelle des Sociétés de secours mutuels par Prosper de Lafitte, Paris 1892), van Dr. Karl Heym (Die Kranken- und InvalidenVersicherungy 1863), van Neison (The Rates of Mortalitij and Sickness of the ancient Order of Foresters friendly Society, by Francis P.
G. Neison, London 1882), van Prof. A. J. Van Pesch (Algemeen Ziekenfonds van Amsterdam, 1852—1879), van Dr. J.
P. Janse (van idem, 1888—1897, 1852—1897 en 1888 —1902, zie „Archief’ deel IV en VII).
Ten slotte merken wij op, dat ook nog gebruik gemaakt wordt van zoogenaamde sterftewetten. De voornaamste zijn die van Gompertz en Makeham, waarvan de eerste tot formule y = Kgqx en de laatste y = (K / ax) gnx heeft, zijnde K, g, q en a constanten, Ux die afhangen van de sterftetafel, waarmede zij overeenstemt, en y het aantal levenden op den leeftijd x. Zoo bijv. wordt de sterftewet, naar de formule van Makeham, voor de bovengenoemde Hm tafel y = ( 107963,88 / 1.0057905x ) x 0,90900671,697318x
Deze formules gelden echter niet voor de kinderleeftijden en worden mede voor de hoogste leeftijden minder nauwkeurig. Zij bewijzen groote diensten bij berekeningen, betreffende verzekeringen op twee of meer hoofden, welke berekeningen dan met behulp van hoogere wiskunde vrij spoedig kunnen worden verricht.
