(Fr.: équation binomiale; Du.: binomische Gleichung; Eng.: binomial equation), in de meest algemene vorm een hogere-machtsvergelijking waarin slechts twee der coëfficiënten van nul verschillen, dus een vergelij king van de vorm
pzn + qzm = 0 met p, q ≠ 0 en n ≠ m.
(Het linkerlid van de vergelijking is een tweeterm ofwel binomium). In de eenvoudigste vorm waartoe elke andere binomiaalvergelijking aanleiding geeft, ziet deze er als volgt uit:
zn = 1 (n = 1, 2, ...)
Stelt men r de modulus van z en φ het argument van z (een der argumenten van z) dan heeft men volgens de formule van de Moivre:
rn (cos nφ + i sin nφ) = 1
zodat rn = 1, dus r = 1 (de vergelijking rn = 1 heeft slechts één positieve wortel) en nφ2k𝜋, k = 0, 1, 2, ...), waaruit volgt:
φ = 2kπ/n (k = 0, 1, 2, ..., n − 1 )
Er zijn juist n verschillende wortels:
z = cos 2kπ/n + i sin 2kπ/n
Men noemt deze n waarden ook wel de n-de machtswortels uit de eenheid. In het complexe vlak zijn deze punten (complexe getallen) de hoekpunten van een regelmatige n-hoek, waarvan het middelpunt samenvalt met de oorsprong. Stellen we:
ε = cos 2π/n + i sin 2π/n
dan zijn de wortels van zn − 1 = 0 voor te stellen door ε1, ε2, ..., εn = 1. We noemen ε een primitieve wortel van de binomiaalvergelijking: is s een getal onderling ondeelbaar met n, dan is ook εs een primitieve wortel.