Verzamelingen (leer der) - onderdeel der wiskunde, waarin de begrippen „grenswaarde” en „oneindig groot” aan een scherpe analyse worden onderworpen. Een „verzameling” (Duitsch : Menge, Fransch: ensemble) is de samenvatting van bepaalde, goed van elkaar onderscheiden dingen („elementen”) tot een geheel. De eenvoudigste verzamelingen bevatten een eindig aantal elementen. Deze kunnen genummerd worden en ook geteld, en de uitkomst van de telling is een zeker getal, bijv. twaalf huizen ; de uitkomst van de telling is hier onafhankelijk van de volgorde volgens welke de elementen worden genummerd.
Ten einde de stellingen aangaande de verzamelingen algemeen te maken, beschouwt men ook „nulverzamelingen”, d. z. verzamelingen, die geen enkel element bevatten. Van meer belang zijn de verzamelingen, die oneindig veel elementen bevatten, zoo bijv. de verzameling van „alle” natuurlijke getallen l, -2, 3, 4,. . . Wil men deze verzameling afbeelden door de punten van een rechte lijn, dan kan men deze afbeelding op zeer verschillende wijzen tot stand brengen. De meest voor de hand liggende manier bestaat in het plaatsen van punten op onderling gelijke afstanden, en wel zoo, dat de volgorde van de punten, die men bij ’t doorloopen van de lijn in een vaste richting passeert, tevens de volgorde aanwijst van de door die punten aangewezen getallen, zooals op een natuurlijke schaal (peilschaal, thermometerschaal). Men kan echter ook als volgt te werk gaan : men wijst twee punten A en B aan; het getal 1 plaatst men bij het punt B ; het getal 2 plaatst men bij het midden tusschen de punten A en B (1); het getal 3 bij het midden tusschen het zooeven verkregen „punt 2” en A, het getal 4 midden tusschen 3 en A. De zoo verkregen „puntenverzameling” bevat oneindig veel elementen, die hoe langer hoe dichter bij het punt A worden samengedrongen, zonder dat het punt A ooit bereikt wordt. Deze verzameling heeft een „grenspunt”, het punt A, dat echter niet tot de verzameling behoort; in de natuurlijke schaal beelden de zoo geconstrueerde punten de getallenverzameling af bestaande uit 1, 1/2,1/4 , 1/8 ,....; de elementen verschillen hoe langer hoe minder van het getal 0, zonder dat het getal 0 ooit bereikt wordt. — De hierboven beschreven puntenverzamelingen hebben de eigenschap, dat men in staat is met elk punt van de eene verzameling een punt van de andere verzameling op ondubbelzinnige wijze te laten correspondeeren, bijv. de punten, die hetzelfde getal vertegenwoordigen. Zulke verzamelingen heeten „gelijkvormig”.
Men kan ook de in de natuurlijke, schaal gerangschikte punten 1, 2, 3,.... n ... resp. laten overeenkomen met de punten 2, 4, 6…. 2n . . .. Hieruit blijkt, dat de oneindige verzameling der natuurlijke getallen gelijkvormig is met de verzameling der even getallen, die een deel is van de eerste. De eigenschap, dat een verzameling gelijkvormig is met een harer „deelverzamelingen” komt alleen voor bij de oneindige verzamelingen. De verzameling van alle meetbare getallen 1/1 1/2 2/2 1/3 3/1 1/4 2/3 3/2 4/1 ,.......m/n kan men ook element voor element ondubbelzinnig laten correspondeeren met de verzameling der natuurlijke getallen. Men rangschikt daartoe de breuken (waaronder de geheele getallen gerekend worden als breuken met den noemer 1) naar de som s van teller en noemer, s = 2 geeft 1/1 , s = 3 geeft 1/2 en 2/1 s = 4 geeft ⅓ 2/2 (=1) en 3/1 enz; men verwijdert dan de breuken, die men reeds bij een kleinere som s heeft ontmoet en rangschikt dan bij een gegeven som de daarbij behoorende breuken naar opklimmende grootte. Zo krijgt men de getallen 1/1 1/2 2/2 1/3 3/1 1/4 2/3 3/2 4/1 enz; het getal 3/2 krijgt dan bijv. het rangnummer 7.
De verzameling van alle meetbare getallen heet nu aftelbaar. De meetbare getallen vormen een verzameling, waarvan de elementen zoo weinig van elkaar verschillen als men wil. Zulk een verzameling heet „overaldicht” of „pantachisch”. Niettemin is deze verzameling aftelbaar. Men kan aantoonen, dat ook alle algebraïsche getallen, d. w. z. alle getallen (meetbare en onmeetbare), die als wortels aan eenige algebraïsche vergelijking (met meetbare coëfficiënten) voldoen, een aftelbare verzameling vormen ; deze is eveneens overaldicht, en wel liggen tusschen twee meetbare getallen, hoe dicht ook bij elkaar gelegen, altijd nog onmeetbare algebraïsche getallen. De verzameling van alle reëele getallen is daarentegen niet aftelbaar ; d. w. z. voegt men aan alle algebraïsche getallen (waartoe ook de meetbare behoren) de transcendente getallen toe, dan krijgt men een verzameling, die niet genummerd kan worden.
Een van de merkwaardigste vondsten van Georg Cantor, den grondlegger van de leer der verzamelingen, is het bewijs van ’t bestaan van transcendente getallen. De verzameling van alle reëele getallen heet het continuüm. Van alle aftelbare verzamelingen zegt men, dat ze dezelfde machtigheid hebben, aangeduid door aleph nul, of ook wel door a. Alle verzamelingen, die element voor element op het continuüm afgebeeld kunnen worden, hebben eveneens dezelfde machtigheid (aleph een) of c, de machtigheid van het continuüm. Men kan verzamelingen vormen van hoogere machtigheid dan het continuüm (aleph twee, drie enz.). De machtigheden heeten c ar din aal ge t alle n. Men heeft ook een rekenkunde der cardinaalgetallen; deze rekenkunde heeft geheel andere regels dan de gewone rekenkunde der eindige getallen. Stelt men een eindig getal voor door g, dan geldt: a + g = a, g x a = a, ag = a, c + a = = c, a x c = c, ca = c;
daarentegen ga = c; de machtigheden zijn oneindige getallen of z.g. transfiniete getallen. — Benadert men een onmeetbaar getal, bijv. √2 door een decimale breuk, bijv. 1,4142 . . .., dan vormt men eigenlijk een reeks van meetbare getallen m/n, n.l. 1/1 14/10 141/100 1414/1000 14142/10000 …….zóó dat de tweedemacht — hoe langer hoe dichter m2/n2 bij 2 ligt. Beschouwt men ook de benaderingsbreuken, die √2 van den grooten kant benaderen : 2, 1,5, 1,42, 1,415, 1,4143 enz., dan krijgt men te zamen twee opeenhoopingen in de verzameling der meetbare getallen, zóo, dat elk getal van de eene opeenhooping kleiner blijft dan elk getal van de tweede opeenhooping. Beide opeenhoopingen blijven, hoe ver ook voortgezet, gescheiden door een snede. Deze snede in de verzameling der meetbare getallen definieert het onmeetbare getal √2. Het onmeetbare getal is dus een grenspunt in de verzameling der meetbare getallen. — Beschouwt men alle getallen tusschen O en 1 zonder 0 en 1 zelf mee te rekenen, dan heeft deze verzameling twee grenspunten, 0 en 1, die niet tot de verzameling behooren. Deze overal dichte verzameling heet „open” ; voegt men echter het grenspunt 1 aan de verzameling toe, dan heet deze aan de zijde van 1 „afgesloten” of „perfekt”. De verzameling der meetbare getallen is wel overaldicht, maar niet afgesloten, want elk onmeetbaar getal is een niet tot de verzameling behoorend grenspunt. — Een verzameling van getallen, die nergens de eigenschap heeft, dat tusschen twee getallen van de verzameling zeker nog een derde getal ligt, heet „nergensdicht”. — Let men bij een oneindige verzameling op de rangschikking, zooals men moet doen, als men een overeenkomst element voor élement tusschen twee gelijkvormige verzamelingen wil constateeren, dan beschouwt men het „ordetype”. Men heeft b.v. bij de verzameling van alle positieve en negatieve getallen het ordetype…. — 3, —2, —1, 0, + 1, +2, (naar opklimmende waarden) en daarnaast het ordetype . . . . + 3, + 2, + 1, 0, —1, —2,....(naar afdalende waarden).
De aldus gerangschikte verzameling der geheele getallen heet „welgeordend”, d. w. z. van elk element kan men aangeven, welk element eraan voorafgaat en welk element er op volgt. Rangschikt men echter de geheele getallen aldus: 0, 1, 2, 3,. ..., —1, —2, —3, dan is de verzameling niet wel-geordend. Bij welgeordende verzamelingen beschouwt men het „ordegetal” of ordinaalgetal, waarmede men de wijze van rangschikking aanduidt. De ordinaalgetallen zijn,evenals de cardinaalgetallen, transfiniete getallen. — De leer der verzamelingen heeft licht verspreid over de moeilijkheden, die ontstaan door onnadenkend gebruik van het begrip „oneindig” en van het woord „alle”. Zoo zou men oppervlakkig zeggen, dat een overaldichte puntenverzamcling alle punten tusschen de uiteinden bevatte. De nadere studie van het verschil in machtigheid heft de daaruit voortvloeiende schijnbare tegenstrijdigheden op. — De eigenaardige moeilijkheden van de leer der verzamelingen komen duidelijk tot uiting in de „paradoxen”. Beroemd is de paradox van Russell aangaande de verzameling van alle verzamelingen, die zichzelf niet als element bevatten. — De leer van de verzamelingen is gegrondvest door Georg Cantor, en verder ontwikkeld door Bolzano, Borel, Brouwer, Hessenberg, Russell, Schoenflies, Zermelo e. a. — Op den grondslag van de leer der verzamelingen hebben Lebesgue en Denjoy het integraalbegrip verruimd, terwijl ook de functiëntheorie veel aan de leer der verzamelingen te danken heeft.
