Differentiaalvergelijking - Een betrekking tusschen een functie van een of meer veranderlijken en de differentiaalquotienten naar die veranderlijke(n) (zie DIFFERENTIAALREKENING). Uit zulk een vergelijking de functie zelve te bepalen vormt het doel van de theorie der diff. verg. Men heeft „gewone” diff. verg., waarbij de functie van slechts één veranderlijke afhangt en partieele diff. verg., waarbij het aantal onafhankelijk veranderlijken grooter is dan 1, zoodat naast de onbekende functie haar partieele diff. quot. optreden.
Heeft men meerdere onbekende functies (afhankelijk veranderlijken), welke van dezelfde onafhankelijk veranderlijke(n) afhangen, dan zijn in ’t algemeen voor het bepalen dier functies evenveel vergelijkingen noodig als er onbekende functies zijn: men heeft dan een stel gelijktijdige (simultane) diff. verg. Elk type van diff. verg. heeft zijn eigen oplossingsmethode; het is daarom een eerste eisch het type van de diff. verg. te herkennen.
In ’t bijzonder hebben de lineaire vergelijkingen van de 2e en hooger orde het aanzijn gegeven aan een geheel nieuwe oplossingsmethode, waarbij men ervan afziet, de onbekende functie te bepalen, uitgedrukt met behulp van een (desnoods oneindige) reeks van eenvoudige functies, maar zich toelegt op het opsporen van de eigenschappen der onbekende functie in ’t algemeen. Vroeger stelde men zich op het standpunt, dat de oplossing moest uitgedrukt worden in bekende functies of met behulp van integralen. Later, toen men had ingezien, dat het brengen van de oplossing in zulk een vorm niet alleen daarop afstuitte, dat men de techniek nog te weinig beheerschte, maar zelfs in de meeste gevallen wezenlijk onmogelijk was, heeft men het onderzoek naar de oplossing in andere banen geleid. Als algemeene regel geldt, dat in de meest algemeene oplossing van een verg. van de ne orde n willekeurige constanten moeten optreden.
Onder de part. diff. verg. van hooger orde zijn die van Monge, Ampère, Laplace en Poisson van beteekenis in de theoretische natuurkunde. De theorie der diff. verg. is belangrijk verdiept door Lie voor de invoering der z.g. transformatiegroepen. De ontwikkeling van de theorie is vooral bevorderd door Euler, Lagrange, Laplace, Jacobi, Clairaut, Gauss, Bessel, Cauchy, Charpit, Legendre, Monge, Poisson, Schwarz Riemann, Pfaff. Men raadplege: A.R. Forsyth, Differential equations (London, Mac Millan); E. Czuber, Vorlesungen über Diff. u. Integralrechnung, Bd. II (Leipzig, Teubner); Serret-Scheffers, Lehrbuch der Diff. u. Integralrechnung, Bd. III, (Leipzig, Teubner); H. Liebmann, Lehrbuch der Differentialgleichungen (Leipzig, Veit).
