[Fr.], v. (-s),
1. vertegenwoordiging;
2. het officiële vertoon dat aan bepaalde belangrijke functies is verbonden;
3. uitdrukking van, formulering, teken, symbool enz. voor iets abstracts of iets dat afwezig is;
4. (wiskunde) voorstelling van een groep en zijn transformatie; vertegenwoordiging van uit te voeren bewerkingen: de interne representatie in een computer bestaat uit bitpatronen.
WISKUNDE
Indien [G,*] en [H,.] groepen zijn en ዋ een epimorfisme is van [G,*] op [H,-] (d.w.z. een éénduidige afbeelding van [G,*] op [H,-] zodanig dat ዋ(a*b) = ዋ(a)ዋ(b) voor alle a, b E G), dan noemt men ዋ een representatie van [G,*]. Voor [H, ] kiest men vaak een groep van lineaire transformaties van een vectorruimte. Indien deze vectorruimte een eindige dimensie heeft, dan kan men deze transformaties beschrijven door middel van matrices; men verkrijgt dan een zgn. matrixrepresentatie van [G,*]. Indien men voor [H,-] een groep van permutaties kiest, spreekt men van een representatie van [G,*] door middel van permutaties. Via representaties verkrijgt men van een abstract gegeven groep in zekere zin een realisatie door meer concrete objecten (matrices, permutaties).
Een eenvoudig voorbeeld van een matrixrepresentatie: laat [V4,*] de groep van dekafbeeldingen van een rechthoek zijn (viergroep van Klein), bestaande uit de vier elementen e,a,b,c die werken op een rechthoek ABCD (afb.). Men brengt een rechthoekig assenkruis aan met de oorsprong in het middelpunt van de rechthoek en de assen evenwijdig aan resp. AB en BC. Iedere dekafbeelding voert de eenheidsvectoren e1 = (1,0) en e2 = (0,1) over in andere eenheidsvectoren die ook de assen tot dragers hebben en met een dekafbeelding correspondeert een matrix met in de kolommen de beelden van de eenheidsvectoren. De afbeelding gedefinieerd door:
ዋ = (1/0 0/1);ዋ(a) = (1 0/0 -1); ዋ (b) = (-1/o (o/1); ዋ ( c) = (-1 o / 0 -1)
is een isomorfie tussen [V4,*] en de multiplicatieve groep gevormd door de vier genoemde matrices, ዋ vormt een matrixrepresentatie van de viergroep van Klein. Niet alleen in de wiskunde, maar vooral ook in de natuurkunde (quantumtheorie, lorentzgroep) speelt de representatietheorie een belangrijke rol.
LITT. C.W.Curtis en I.Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras.
