o. (-len), model dat opgesteld is om de samenstelling van atoomkernen te verklaren.
(e) Een →atoomkern is opgebouwd uit protonen en neutronen. Deze worden in de kern samengehouden door de kernkrachten m.n. de →sterke wisselwerkingen. Wanneer men de kernkrachten volledig zou kennen, zou men hieruit in principe de structuur van de kernen kunnen berekenen. Wanneer de atoomkern uit meer dan twee deeltjes bestaat geeft dit probleem al aanleiding tot ontzettend veel rekenwerk. Het doorrekenen van een wat ingewikkelde kern is ondoenlijk. Daarom moet men zich behelpen met kernmodellen; deze zijn nog wiskundig hanteerbaar en beschrijven de eigenschappen van een hele reeks atoomkernen.
In het vloeistofdruppelmodel wordt de atoomkern als analoog aan een vloeistofdruppel opgevat. In een vloeistofdruppel is de dichtheid in het centrum constant, terwijl men aan de oppervlakte een grenslaag van variabele dichtheid onderscheidt. Men ziet dus af van de korrelige structuur van de kern. Op grond van dit model heeft men een semi-empirische formule voor de bindingsenergieën van de kernen kunnen opstellen. Deze formule heeft een belangrijke rol gespeeld bij de bestudering van de stabiliteit van atoomkernen en bij de theorie van de kernsplijting. Men heeft ook geprobeerd om aangeslagen toestanden met dit model uit te rekenen: men denkt zich daarbij de kern aangeslagen als er een golf over het kernoppervlak loopt.
Voor de zwaardere kernen zijn de berekende waarden een orde van grootte hoger dan de experimentele waarden. Dit ruwe model kan niets over kernstructuur vertellen.
Bij het fermi-gasmodel denkt men zich de protonen en neutronen bewegend in een bolsymmetrische potentiaalpunt. Men neemt aan dat deze potentiaal afkomstig is van de wisselwerking tussen de deeltjes. Het bolsymmetrisch zijn van de potentiaal is in de kernfysica minder voor de hand liggend dan bij de analoge beschrijving van de bewegingen van de elektronen om de atoomkern. In dat laatste geval treedt de atoomkern als krachtcentrum op en is de wisselwerking de coulombkracht. In het geval van de atoomkern heeft men te maken met kernkrachten die een zeer korte dracht hebben, zodat men moeilijk een krachtcentrum kan aangeven. Gezien de resultaten kan de bolsymmetrie als hypothese gehandhaafd worden.
Elk deeltje beweegt zich derhalve in de potentiaal, die door de andere deeltjes wordt voortgebracht. Omdat protonen en neutronen spin j hebben (dus fermionen zijn), en door het verder verwaarlozen van onderlinge wisselwerkingen, is deze situatie analoog aan die van een ideaal gas van →fermionen, opgesloten in een vat. De straal van de potentiaalputten is ongeveer gelijk aan de kernstraal: 1,2 A x 10-15 m. Voor de kern Pb208 met Z = 82 en N = 126 ligt de bodem van de put voor neutronen ca. 44 MeV, die voor protonen ca. 34 MeV onder het nulpunt van de energie. De diepte van de potentiaalput voor het neutron is zo gekozen, dat het neutron in de hoogst gelegen bezette toestand de waargenomen bindingsenergie EB heeft (gewoonlijk 8 MeV per neutron). Omdat de kern stabiel moet zijn, moet de energie van de neutron in de hoogste bezette neutrontoestand gelijk zijn aan de energie van het proton in de hoogste bezette protontoestand.
Aangezien de aantallen protonen en neutronen in een kern meestal verschillend zijn, zijn er verschillende diepten voor de potentiaalputten van protonen en neutronen. Bij de protonen krijgt men bovendien nog te maken met de elektrostatische afstoting. Dit model kan verklaren waarom sommige nucleonen zo’n hoge energie hebben. Immers de niveaus worden van beneden af naar boven met protonen of neutronen gevuld, waarbij vanwege het →uitsluitingsprincipe slechts één deeltje per niveau mag worden ondergebracht. Heeft men veel nucleonen, dan zullen de laatsten daarvan in hoge energieniveaus terecht komen. Voorts kan om dezelfde reden bij een botsing tussen een projectiel en een kern praktisch nooit weinig impuls worden overgedragen.
Immers de laagste energietoestanden zijn bezet. Een nucleon, dat door een botsing impuls krijgt toebedeeld, moet daarvan zoveel krijgen, dat het een hogere onbezette toestand kan bereiken.
In het schillenmodel denkt men zich de nucleonen als onafhankelijk van elkaar bewegend in een bolsymmetrische potentiaal. Net zoals bij het fermigasmodel denkt men zich de potentiaal, waarin een nucleon beweegt, afkomstig van de aanwezigheid van de andere nucleonen. Bij de elektronenstructuur van de atomen is de schillenstructuur van de elektronentoestanden ingevoerd (→atoommodel), wat zich weerspiegelt in het periodiek systeem van de elementen. Omdat in het onderhavige model ook een bolsymmetrische potentiaal aanwezig is, vindt men ook hier als voorspelling van het model een schillenstructuur voor de opbouw van de atoomkern. Hiermee kan worden verklaard waarom kernen, waarvan de aantallen neutronen (N) of/en protonen (Z) gelijk zijn aan 2, 8, 20, 28, 50, 82 en 126 (de zgn. magische getallen) bijzonder stabiel zijn: in die gevallen is er nl. weer een schil afgesloten. Voor de bolsymmetrische potentiaal wordt meestal de Woods-Saxon-vorm aangenomen:
-V
V(r)= 1 + exp ((r-c)/a))
De grootte van c is ongeveer die van de kernstraal, terwijl a de afstand aangeeft waarover V (r) van zijn praktisch constante waarde tot nul afvalt (dikte van de grenslaag van de kern). In 1950 zijn de energieniveaus voor de protonen en neutronen uitgerekend, nadat (wat van fundamenteel belang bleek te zijn) een zgn. spin-baankoppeling aan de potentiaal is toegevoegd (de niveaus, die men eerder zonder deze term had berekend stemden niet goed overeen met de waarnemingen). De spin-baankoppelingswisselwerking is afkomstig van de kracht, die het magnetisch moment van het bewegend nucleon in het statische veld V (r) ondervindt. In de atoomfysica is dit een kleine correctie, die aanleiding geeft tot de fijnstructuursplitsing, in de kernfysica is de correctie aanzienlijk groter. De niveaus worden van onderen naar boven opgevuld met inachtneming van het uitsluitingsprincipe. Men bedenke hierbij, dat een niveau met spin j (2 j + l)-voudig →ontaard is.
Van elke kern is op deze manier de verdeling van de nucleonen over de verschillende toestanden voor de grondtoestand van de kern volledig vastgelegd. Met een paar extra vuistregels zijn we tevens in staat om de kernspin in de grondtoestand te berekenen. Deze vuistregels, die in een meer volledige theorie zouden kunnen worden afgeleid, luiden als volgt:
1. Heeft men een even aantal protonen (of neutronen), die alle dezelfde spin; hebben, dan stellen de spins zich zo samen, dat de spins van alle protonen (of neutronen) in de grondtoestand te zamen nul zijn. Heeft men een oneven aantal protonen of neutronen, dan gaan de spins zich eerst zoveel mogelijk paarsgewijs opheffen met als gevolg dat de totale spin door het laatste oneven deeltje wordt bepaald.
2. De aanname dat de nucleonen in een centrale potentiaal bewegen en niet met elkaar wisselwerken is alleen bij benadering waar. Nucleonen buiten gesloten schillen zullen zeker met elkaar wisselwerken. Daarbij zal deze wisselwerking sterker zijn als de nucleonen in dezelfde baan bewegen dan wanneer ze in verschillende banen bewegen. Deze wisselwerking, de pairing energy, blijkt aantrekkend te zijn. Als gevolg hiervan heeft een niveau met een even aantal nucleonen een lagere energiewaarde dan hetzelfde niveau met een oneven aantal nucleonen. Dit legt een volgorde van vullen van niveaus vast. Het schillenmodel heeft o.a. de volgende merites.
1. Het verklaart de stabiliteit van kernen met gesloten neutronenof protonenschillen: de stabiele kernen aan het einde van een radioactieve reeks hebben of Z = 82 (Pb206, Pb207) of N = 126 (Bi208) of beide (Pb208).
2. Het verklaart de spins van de grondtoestanden van kernen.
3. Men kan de magnetische momenten van de kernen in de grondtoestand berekenen. Hier treden echter complicaties op vanwege ‘configuratiemenging’.
4. De →pariteit van de grondtoestand van een kern wordt goed voorspeld (bevestigd door bètaovergangen van kernen).
5. De lager gelegen aangeslagen toestanden worden goed voorspeld. De hoger gelegen aangeslagen toestanden liggen echter zo dicht bij elkaar dat het model daar niet meer zinvol is.
6. Isomere toestanden van kernen kunnen nu ook worden begrepen: een isomere toestand van een kern is een aangeslagen toestand met een zo lange levensduur, dat deze direct meetbaar is. Voor het optreden ervan is nodig, dat de spin van de laagste aangeslagen toestand aanzienlijk verschilt van die van de grondtoestand.
Het collectieve model is op te vatten als een compromis tussen het vloeistofdruppelen het fermi-gasmodel. De grote quadrupoolmomenten van sommige kernen wijzen er op dat deze kernen niet bolvormig zijn. De onafhankelijke beweging van de nucleonen, zoals tot nu toe verondersteld, kan dit niet verklaren. De afwijking van de bolvorm (vaak deformatie genoemd) is een coöperatief verschijnsel, d.w.z. de banen van de nucleonen zijn gecorreleerd en wel op zodanige wijze dat een deformatie resulteert, die zich lange tijd of permanent handhaaft. De afwijking van de bolvorm kan men zich als volgt voorstellen: de nucleonen buiten de afgesloten schillen (die de ‘romp’ van de kern vormen) veroorzaken een ‘getijbeweging’ op het oppervlak van de romp. Daardoor voelen deze nucleonen een potentiaal, die niet meer bolsymmetrisch is (J.Rainwater, 1950, later uitgewerkt door A.Bohr en B.Mottelson, voor dit werk kregen zij in 1975 de Nobelprijs).
Dit model wordt het collectieve model genoemd. Een model dat hiermee ten nauwste verwant is, is het geünificeerde model, een uitbreiding van het schillenmodel. Daarbij wordt de potentiaal als niet-bolsymmetrisch aangenomen. Die vervorming van de potentiaal, die de laagste waarde van de energie geeft, neemt men dan aan als de werkelijke vervorming van het kernoppervlak. Het collectieve model heeft een aantal spectaculaire successen geboekt:
1. de elektrische quadrupoolmomenten worden goed voorspeld;
2. de magnetische momenten komen er beter uit dan in het schillenmodel;
3. de spectra van de aangeslagen toestanden stemmen goed met de waarnemingen overeen. Naarmate er meer nucleonen buiten de gesloten schillen zijn, neemt de deformatie van de romp toe. Zo krijgt men een schommeling van het kernoppervlak om een evenwichtsstand, wat men in het spectrum terugvindt in de vorm van vibratieniveaus. Deze niveaus zijn gekenmerkt door een constant energieverschil tussen twee opeenvolgende niveaus. Wanneer er voldoende nucleonen buiten de gesloten schillen zijn, krijgt men ook nog rotatietoestanden vanwege de draaiing van de kern. Nadere analyse leert, dat alleen de oppervlaktelaag van de kern draait, de romp van de kern staat stil. Ook deze rotatietoestanden zijn eenvoudig in de kernspectra te determineren. De overeenstemming met de gemeten waarden is echter niet volkomen, wat ook niet te verwachten is, zolang men een model van de werkelijkheid maakt.
LITT: H.A.Bethe en P.Morrison, Elementary nuclear theory (1956); L.R.B.Elton, Introductory nuclear theory (1966); G.A.Jones, The properties of nuclei (1977).
