v./m., symbool Li(JC), de functie die voor x>0 gedefinieerd is door:
X Li(x) =∫ dt
0 In t
(e) De integraallogaritme kan niet in elementaire functies worden uitgedrukt. Zij komt o.a. voor in de theorie van de →priemgetallen, integraarrekening, v., dat onderdeel van de wiskunde waarin methoden voor de berekening van integralen worden ontwikkeld.
(e) Beschouwt men t ∫(x) dx als een functie F van t, a dan geldt (als f(x) in een interval a ≦ x ≦b →continu ondersteld wordt), dat F een zgn. primitieve functie van f is, d.w.z. de afgeleide van F is (in het interval a ≦ t ≦ b) de functie f. Hieruit volgt de zgn. hoofdstelling der integraalrekening: als F een primitieve functie van f is, dan is: b ∫ f(x) dx = F(b) F(a)
a
B.v. (x — 1/3X3) is een primitieve functie van (1-x2),
dus is:
1
∫ (I-X2)DX = (1-1/3.1)-(0-1/3.0) = 2/3 o Wat ook onmiddellijk uit de definitie van een integraal kan worden afgeleid (zie voorbeeld bij →integraal). De primitieve functie van f wordt dikwijls door ∫f(x) dx voorgesteld en dan onbepaalde integraal genoemd. Ze is op een additieve constante (c) na bepaald: als F een primitieve functie is, is ook F + c een primitieve functie en iedere primitieve functie heeft ook deze gedaante, d.w.z. het verschil van twee primitieve functies is een constante. Een primitieve functie van f is een functie, waarvan de →differentiaal gelijk is aan f(x) dx. Vandaar ook de toevoeging van de differentiaal achter het integraalteken J.
Uit het bovenstaande volgt, dat het voor berekening van integralen nuttig is om te trachten van de zgn. elementaire functies (de →rationale functies, de →exponentiële en logaritmische functies, alsmede de goniometrische functies, de →cyclometrische functies en de uit al die functies →samengestelde functies) de primitieve functies te bepalen. Niet steeds is de primitieve functie van een elementaire functie weer een elementaire functie, waardoor nieuwe functies ontstaan, die in de wiskunde een belangrijke rol spelen (→integraallogaritme, →integraalsinus). Ook van →algebraïsche functies, die een vierkantswortel uit een veelterm van de derde, vierde of hogere graad bevatten, is in het algemeen de primitieve functie geen elementaire functie (elliptische en hyperelliptische integralen).
In de integraalrekening worden verder diverse generalisaties van het begrip integraal beschouwd (zoals dubbelintegraal, lijn-integraal, Stieltjesintegraal) alsmede verscheidene algemenere definities van het begrip integraal (Lebesgue, Perron, Denjoy). Zij geeft verder methoden voor het berekenen van de lengte van een kromme lijn, inhouden van figuren in de ruimte, die door gebogen oppervlakken worden begrensd enz.
LITT. R.Courant, Differential and integralcalculus (2 dln. 1934—36); T.Apostol, CalculusIl-II (1969);
Meulenbeld en A.W.Grootendorst, Analyse IIII (1974-76).
