v. (-en), een betrekking tussen een functie van een of meer veranderlijken en de differentiaalquotiënten naar die veranderlijke(n).
In de wiskunde behandelt de theorie van de differentiaalvergelijkingen de problemen die zich voordoen bij het bepalen van alle functies die aan een differentiaalvergelijking, en eventuele nevenvoorwaarden, voldoen; men noemt dit de integratie van de differentiaalvergelijking. De eenvoudigste differentiaalvergelijking is wel y' = f(x), omdat dan integratie onmiddellijk de waarde van y geeft; zo volgt uit y' = x3 onmiddellijk y = 1/4 x4 + c (zie integraalrekening). Maar gewoonlijk heeft men met ingewikkelder problemen te doen, waar dus een functie van x, y, y', y", enz. gegeven is, die niet door directe integratie op te lossen is. Men heeft gewone differentiaalvergelijkingen, waarbij de functie van slechts één veranderlijke afhangt, en partiële differentiaalvergelijkingen, met meer dan één onafhankelijk veranderlijke, zodat naast de onbekende functie haar partiële afgeleiden optreden. Heeft men diverse onbekende functies (afhankelijk veranderlijken), die van dezelfde onafhankelijk veranderlijke(n) afhangen, dan zijn in het algemeen voor het bepalen van die functies evenveel vergelijkingen nodig als er onbekende functies zijn. Gewone differentiaalvergelijkingen zijn b.v.: y' = ay (oplossing: y = ceax); x2y" - 2xy' +2y = 0 (oplossing: y = Ax2 + Bx, A en B willekeurig).
Een partiële differentiaalvergelijking is b.v. x(dy/dx) + y(az/ay)= z (oplossing: z/y is een willekeurige functie van z/x).
Differentiaalvergelijkingen worden onderscheiden naar de orde van het hoogste differentiaalquotiënt, dat er in voorkomt. Elk type differentiaalvergelijking heeft zijn eigen oplossingsmethode; het is daarom een eerste eis het type te herkennen; zo heeft men de ‘lineaire’ vergelijking (die van de eerste graad is in y, dy/dx, d2y/dx2, ….), b.v. dny/dxn + A1 (dn-1y/dxn-1) + ...An,y = B, waarin .. .A1...An en B functies zijn van x (of constanten); de vergelijking van Clairaut:
y = x (dy/dx) + f(dy/dx), waarin f een willekeurige functie is; de vergelijking van Riccati:
dy/dx = Ay2 + By + C, waarin A, B en C functies zijn van x enz. Men meende vroeger, dat de oplossing moest gevonden worden met behulp van bekende functies of ten hoogste met behulp van integralen. Dit gelukt echter slechts in bepaalde, eenvoudige gevallen, en de eerste mathematici, die zich met differentiaalvergelijking bezighielden, hebben onmiddellijk deze gevallen behandeld (Bernoulli, Euler, Clairaut). Maar reeds in heel simpele gevallen voeren differentiaalvergelijkingen tot nieuwe soorten van functies. Vooral zijn bekend geworden verschillende functies, die voldoen aan lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede en hogere orde. Zij komen in verscheidene problemen der mathematische fysica voor; hiertoe behoren o.a. de bolfuncties, de besselse functies of cilinderfuncties. Ook partiële differentiaalvergelijkingen vinden een groot veld van toepassing, niet alleen in de zuivere wiskunde, maar vooral ook in de theoretische fysica, waar veel van de problemen voeren tot de bestudering van partiële differentiaalvergelijkingen, en wel dikwijls van de tweede orde.
Bv. de potentiaalvergelijking of vergelijking van Laplace: ∂2u/∂x2 +∂2U/∂Y2 + ∂2U/∂Z2=0.
Deze differentiaalvergelijking speelt een belangrijke rol in de mechanica en in de elektrostatica.
