v., onderdeel van de wiskunde, dat de methode van de differentiaalrekening toepast bij het opsporen van de eigenschappen van meetkundige figuren.
De differentiaalmeetkunde gebruikt afgeleiden van eerste en hogere orde. In het platte vlak is de meest voor de hand liggende toepassing het vinden van de raaklijn in een willekeurig punt aan een vlakke kromme y = f(x). Immers de tangens van de hoek die de raaklijn in een punt maakt met de positieve x-as, wordt voorgesteld door de waarde van de afgeleide van f(x) daar ter plaatse. Loodrecht op de raaklijn staat de normaal van de kromme. Raaklijn en normaal vereisen voor hun berekening slechts de eerste afgeleide van y naar x.
De tweede afgeleiden zijn nodig om de kromming van de kromme in een bepaald punt te bepalen. Wanneer men in twee punten A en B van een zekere kromme lijn (afb.) de raaklijnen aan die kromme lijn trekt en in A en B op de resp. raaklijnen de normalen opricht, dan snijdt de normaal van B die van A in een punt M; laat men B langs de kromme lijn onbepaald dicht tot A naderen, dan zal het snijpunt M zich langs de normaal van A bewegen en onbepaald dicht naderen tot een grensstand M0. Dit punt M0 heet het kromtemiddelpunt van het punt A en het stuk AMo heet de kromtestraal ρ, het omgekeerde daarvan is de kromming. Dit mathematisch gedefinieerde begrip kromming komt overeen met wat men in het dagelijks leven daaronder verstaat, want bij een sterk ‘gekromde’ kromme is ρ klein en omgekeerd. Deze kromming hangt af van de verandering van de raaklijn, dus van de verandering van de afgeleide, wat niets anders is dan de tweede afgeleide. Voor een rechte lijn isp oneindig groot of y" = 0 in ieder punt.
In een buigpunt wordt de kromme van convex concaaf of omgekeerd. Hier gedraagt de kromme zich dus even als een rechte lijn, en is dus d2y/dx2= 0, en de kromming nul. Bij een cirkel is de kromming constant.
Bij elk punt der kromme behoort dus een kromtemiddelpunt, op de normaal van het punt gelegen. Men kan nu vragen naar de kromme, waarop al deze kromtemiddelpunten liggen en zo kan men geleidelijk de differentiaalmeetkunde van vlakke kromme lijnen ontwikkelen.
In de ruimte behandelt de differentiaalmeetkunde in de eerste plaats die eigenschappen van ruimtekrommen en oppervlakken waarbij de differentiaalmeetkunde te pas komt. B.v. stel A is een punt van een ruimtekromme. Elk vlak door de raaklijn van A heet raakvlak. Het vlak, dat gaat door de raaklijn van A en door een naburig punt B van de kromme, zal, wanneer men het punt B langs de kromme beweegt, om de raaklijn van A draaien en wanneer B onbepaald dicht tot A nadert, eveneens naderen tot een grensstand; deze heet het osculatievlak van A. Dit vlak is om zo te zeggen het vlak, waarin de kromme zich in de onmiddellijke nabijheid van A bevindt en valt bij een vlakke kromme samen met het vlak van de kromme. De loodlijn, die men in het osculatievlak op de raaklijn kan oprichten, heet hoofdnormaal; de loodlijn, in A op het osculatievlak opgericht, heet binormaal; het vlak door A loodrecht op de raaklijn heet normaalvlak, het vlak door A loodrecht op de hoofdnormaal (dus door raaklijn en binormaal) heet rectificerend vlak.
De drie onderling loodrechte lijnen: raaklijn, hoofdnormaal en binormaal vormen de zgn. hoofdtriëder. Het normaalvlak van A wordt door het normaalvlak van een naburig punt B gesneden volgens een zekere lijn, die, wanneer B tot A nadert, zelf tot een grensstand nadert, welke de poollijn van A heet en loodrecht staat op het osculatievlak; zij snijdt het osculatievlak in een punt M0; dit punt ligt op de hoofdnormaal van A, het heet het kromtemiddelpunt van A; de lengte ρ van de lijn M(y4 heet de 1 kromtestraal en men noemt 1/ρ de eerste kromming in A.
Projecteert men de binormaal van een punt B op het rectificerende vlak van A, dan snijdt deze projectie de binormaal van A in een punt N. Laat men B tot A naderen, dan nadert N tot een zekere eindstand No. De lengte T van de lijn AN0 heet de torsiestraal en 1/T heet de torsie of tweede kromming in A. Bij een vlakke kromme vallen alle osculatievlakken samen in het vlak van de kromme, de torsie is nul. De torsie geeft aan, hoeveel de kromme uit haar osculatievlak draait.
Met de ruimtekrommen hangen die oppervlakken samen, die de meetkundige plaats zijn van de raaklijnen van een ruimtekromme; die oppervlakken worden geraakt door de osculatievlakken van de ruimtekromme; zij hebben slechts een enkelvoudige reeks van raakvlakken en het raakvlak is hetzelfde in alle punten van dezelfde beschrijvende lijn. Deze oppervlakken kunnen door geleidelijke verbuiging tot een plat vlak gemaakt worden; zij heten daarom ontwikkelbare oppervlakken en kunnen door een blad papier gerealiseerd worden. Omgekeerd kan elk ontwikkelbaar oppervlak opgevat worden als de meetkundige plaats van de raaklijnen aan één bepaalde ruimtekromme, de keerkromme van het ontwikkelbaar oppervlak.
Oppervlakken die gevormd kunnen worden door de beweging van een rechte lijn volgens zeker voorschrift (cilindervlak, kegelvlak, éénbladige hyperboloïde, schroefvlak) heten regelvlakken; hiertoe behoren de ontwikkelbare oppervlakken. Niet-ontwikkelbare oppervlakken heten scheve regelvlakken (b.v. de eenbladige hyperboloïde, hyperbolische paraboloïde); de lijnen van het oppervlak heten beschrijvende lijnen.
De differentiaalmeetkunde houdt zich bovenal bezig met de eigenschappen van de oppervlakken in het algemeen. Trekt men door een punt A van een oppervlak in allerlei richtingen kromme lijnen op het oppervlak en construeert men van elk van deze lijnen de raaklijn in A, dan liggen al deze raaklijnen in een plat vlak, het raakvlak in A. De loodlijn in A, op dit raakvlak opgericht, heet de (oppervlak-) normaal in A. Raakvlak en normaal hangen af van de eerste partiële afgeleiden van de coördinaten van een oppervlak. De geodetische lijnen op een oppervlak hebben de eigenaardigheid, dat hun hoofdnormaal samenvalt met het oppervlaknormaal. Men leidt hieruit af, dat een geodetische lijn, die door twee punten A en B gaat (mits B niet te ver van A af ligt), de kortste verbindingslijn is, die men over het oppervlak tussen A en B kan trekken. Zo kan men tal van andere kromme lijnen op een oppervlak onderzoeken, b.v. de zgn. kromtelijnen enasymptotische lijnen.
GESCHIEDENIS. De differentiaalmeetkunde dateert reeds uit de eerste tijd van de differentiaalrekening (eind 17e eeuw), omdat het vraagstuk van de raaklijn tot het differentiaalquotiënt voert. C. Huygens kwam in zijn Horologium oscillatorium (1673) tot een theorie van het kromtemiddelpunt; G.W.Leibnitz ontwikkelde vele eigenschappen van de vlakke krommen; J.Bernoulli stelde in 1697 de vraag naar de kortste lijnen op een oppervlak en kwam tot de geodetische lijnen. In de 18e eeuw gaf G.Monge in zijn Feuilles d’analyse (1795), later in zijn Applications de l’analyse d la géometrie (1809) de differentiaalmeetkunde de vorm die in grote trekken nog bewaard is. Grote vorderingen maakte C.F.Gauss (1829), die de kromlijnige coördinaten en de idee van de buigingsinvarianten invoerde.
Met de nieuwste bloei van de differentiaalmeetkunde die met G.F.B.Riemann (1854) aanving en door de moderne relativiteitstheorie is beïnvloed, heeft zich o.a. ook de Nederlander J.A.Schouten beziggehouden. [prof.dr.S. C.van Veen]
LITT. D.J.Struik, Lectures on classical differential geometry (1950); N.J.Hicks, Notes on differential geometry (1965); B.O’Neill, Elementary differential geometry (1966).
