[Gr. axioma, waardigheid, wat juist geacht wordt], o. (-’s, of -ata), onbewezen, maar als grondslag aanvaarde stelling; wiskundige axioma’s; de axiomata van de etymologie, analogie; onomstotelijke waarheid: dat er verandering in de maatschappelijke toestanden moet komen is voor mij een Axioma; iets als een Axioma aannemen.
LOGICA.
In de oudere logica een niet bewezen, maar evidente bewering, die diende als grondslag van een deductief systeem. Hiertegenover was een postulaat een niet-evidente bewering, die echter voor de ontwikkeling van het bovengenoemde systeem noodzakelijk was. In de moderne logica is het onderscheid tussen axioma en postulaat weggevallen. Aan de axioma’s van een systeem wordt de eis gesteld, dat deze onderling niet in tegenspraak zijn, dat er geen contradictoire (tegenstrijdige) beweringen uit kunnen worden afgeleid, dat zij niet uit elkaar afleidbaar zijn en dat alle geldige uitspraken van een systeem eruit afleidbaar zijn.
LITT. E.W. Beth, Inleiding tot de wijsbegeerte der wiskunde (1940).
WISKUNDE.
Wil men een wiskundig systeem ontwikkelen, dan moet men voortdurend uit de ene stelling de andere laten voortvloeien door een logische bewijsvoering. Men kan nu ook de bewijsvoering terug vervolgen en zien, wat de eenvoudigste stellingen (axioma’s) zijn, waarop al het andere kan berusten. Met behulp van die axioma’s kan men dan nieuwe begrippen definiëren en van die nieuwe begrippen stellingen bewijzen. Men mag geen axioma’s opstellen, die elkaar tegenspreken en ook geen axioma dat geheel of gedeeltelijk uit een ander axioma volgt. De laatste eis vergt vaak moeilijk onderzoek. Belangrijke hulp bewijst daarbij de methode van de aritmetisering van de wiskunde.
Een eerste axiomaonderzoek van de gewone meetkunde werd door de Grieken ondernomen en niet weer opgevat vóór ca. 1900. Tegenwoordig bouwt men de elementaire of euclidische meetkunde op axioma’s op, die men verdeelt in :
1. de grafische axioma’s: er zijn minstens twee verschillende punten; twee van elkaar verschillende punten A en B bepalen steeds een rechte AB; als A, B, C punten van een rechte zijn, en B tussen A en C ligt, dan ligt B tussen C en A; als A en B verschillende punten zijn, is er een punt C, dat niet op de rechte lijn AB ligt e.d.;
2. de congruentieaxioma’s: zijn A en B twee punten op een rechte a, is verder A' een punt op deze rechte of op een andere rechte a', dan kan men op a, respectievelijk a' naar elke kant van A' slechts één punt B' vinden, zodat AB = A'B'; als een lijndeel AB zowel aan het lijndeel A'B' als aan het lijndeel A"B" gelijk is, is ook A'B' gelijk aan A"B" e.d.; ook over gelijkheid van hoeken;
3. het parallellenaxioma. Dit leert, dat door een punt A buiten een lijn a in het door A en a bepaalde vlak één en niet meer dan één rechte lijn b gaat, die de lijn a niet snijdt; deze lijn b heet parallel (evenwijdig) aan a.
Pas in de eerste helft van de 19e eeuw lukte het Gauss, Lobatschewski en J. Bolyai een meetkunde op te stellen zonder deze eigenschap. Daarmee werd bewezen dat men hier een axioma had (zie niet-eudidische meetkunde). Uit dit axioma volgen de stellingen:
a. als twee parallellen door een derde rechte gesneden worden, zijn de verwisselende binnenhoeken gelijk;
b. de som van de hoeken van een driehoek is 180°. De meetkunde die op de axioma’s 1-3 gebaseerd is heet de euclidische meetkunde. De meetkunden, op de axioma’s a en b gebouwd, heten niet-euclidische meetkunden in engere zin. Tegenwoordig kent men echter tal van niet-euclidische meetkunden, die in nog andere axioma’s van de euclidische verschillen. Indien men in plaats van het parallellenaxioma, als axioma aanneemt, dat de som van de hoeken van een driehoek 180° bedraagt, gelukt het eveneens, de euclidische meetkunde af te leiden; echter alleen met gebruik van een nieuw axioma. Dit zgn. axioma van Archimedes treedt in vele beschouwingen op en luidt: als A1 een punt is op een rechte tussen twee punten A en B, en men construeert dan de punten A2, A3, A4, ..., zó, dat A1 tussen A en A2, A2 tussen A1 en A3, A3 tussen A2 en A4 enz. ligt en tevens de lijndelen AA1, A1A2, A2A3, A3A4, ..., aan elkaar gelijk zijn, dan is er in de reeks van de punten A2, A3, A4 enz. steeds een punt An, zó, dat B tussen A en An ligt. Hierop berust de mogelijkheid, rechtlijnige lijndelen rekenkundig te behandelen.
Het axioma komt reeds, zij het een weinig verborgen, bij Eukleides voor. Tegenwoordig poogt men ook andere wiskundige gebieden axiomatisch op te bouwen. Ook bij de relativiteitstheorie zijn zulke pogingen reeds gedaan. Veel nut heeft het axioma van de verzamelingsleer.
LITT. L.E.J. Brouwer, Over de grondslagen der wiskunde (1907); G. Mannoury, Method. und Philos. zur Elementar-Mathematik (1909); E.W. Beth, The foundations of mathematics (1959); H. Freudenthal, Exacte logica (1961).
