1° Voor een op het segment (a, b) gedefinieerde, eindige functie f(x) is de onbepaalde integraal [notatie: /(x)dx] die functie, welke in ieder punt x van het segment f(x) tot > differentiaal-quotiënt heeft. Indien een eindige functie een onbepaalde i. heeft (iets wat niet steeds het geval is, doch bijv. wel voor alle > continue functies), zoo is deze bepaald tot op een willekeurige additieve constante na, d.w.z. /(x)dx laat zich steeds schrijven in de gedaante F(x) + K, waarbij K de willekeurige constante voorstelt.
2° Voor een op (a, b) begrensde functie f(x) verkrijgt men de bepaalde integraal [notatie: /bf(x)dx] als volgt. Bij verdeeling van (a, b) in eenaeindig aantal (n) deelen (xi-^xi) en bij willekeurige keuze van een punt £i op ieder segment (xi-j,xi) benrekent men de som 2 ✝ (£i) x (xj—Xi-X). Beschouwt i=1 men nu rijen van dergelijke verdeelingen en bijbehoorende sommen, waarbij met toenemend rangnummer der verdeeling de grootste lengte van haar deelintervallen tot nul nadert, en naderen dan tevens de sommen steeds tot een zelfde limiet, dan geeft die limiet de waarde der bepaalde i. over (a, b). Deze van Riemann afkomstige definitie voert bij continue functies steeds tot een resultaat. Het zal duidelijk zijn, dat bij een positieve functie, zooals in de fig., de waarde der bepaalde i. tevens te beschouwen is als een maat voor de grootte van het oppervlak tusschen de kromme AB, de ordinaten aA en bB en de x-as. Dit heeft gevoerd tot een meetkundige definitie voor de bepaaldei. van Riemann, waarbij het maatbegrip van Peano Jordan (» Maat) wordt aangewend.Gebruikt men het algemeenere maatbegrip van Lebesgue, dan komt men aldus tot de meetkundige definitie van de (algemeenere) bepaalde i.van Lebesgue. Bij de integraaldefinitie van Lebesgue is het niet noodzakelijk, dat de functiewaarden begrensd zijn. Indien zoowel onbepaalde als bep. i. bestaan en de onbepaalde i. /(x)dx is voor te stellen door F(x) + K, dan geldt de betrekking: /bf(x)dx = F(b) — F(a)a (grondstelling der integraalrekening).
Ook bij functies van meer onafhankelijk veranderlijken laten zich zoowel onbepaalde als bepaalde i. definieerèn. Wanneer een functie geen bepaalde i. volgens Riemann of Lebesgue bezit, maar toch door toepassing van zekere limietovergangen, uitgaande van bepaalde i. van Riemann resp. van Lebesgue, een eindige grenswaarde ontstaat, welke vele karakteristieke eigenschappen met de gewone bepaalde i. gemeen heeft, dan noemt men die grenswaarde oneigenlijke bepaalde integraal. Van de bepaalde i. /bf(x)dx noemt men a de onderste, b. de bovenste grens; het teeken ƒ heet integraalteeken.
Lit.: ➝ Integraalrekening. J. Ridder