Het einde van de vorige eeuw liet een opleving zien van de belangstelling voor de logische paradoxen, die nog niet van de semantische paradoxen werden onderscheiden. Om de paradox van Russellen andere paradoxen onschadelijk te maken sprak Russell het principe van de vicieuze cirkel uit: ‘stel dat als een zekere verzameling (‘collection’) een totaal had, zij elementen zou hebben die alleen in termen van dat totaal definieerbaar waren, dan heeft deze verzameling geen totaal’, d.w.z. dan kunnen we niet spreken over de totaliteit van haar elementen.
Klassen vormen voor Russell een dergelijke verzameling. Er zijn, zei hij, klassen van het eerste type of van het eerste niveau, waarvan de elementen gewone objecten zijn, klassen van het tweede type waarvan de elementen klassen van het eerste type zijn, enzovoort. De klasse der katten en de klasse der honden zijn dierklassen. Het zijn zelf klassen van het eerste type, en het zijn elementen van de klasse der dierklassen: een klasse van het tweede type. Er is een klasse van alle klassen van een gegeven type (deze zal zelf één type hoger zijn), maar geen klasse van alle klassen (zie ook categorieën). Gewone objecten zijn van type nul. De typenhiërarchie is ook van toepassing op eigenschappen: een eigenschap van eigenschappen van objecten behoort tot het tweede type. Zwart is een eigenschap van katten en heeft de eigenschap op katten van toepassing te zijn. Van toepassing op katten is daarom een tweede-type-eigenschap van de eerste-type-eigenschap zwart.
In ‘Napoleon had alle eigenschappen van een groot generaal’ is had alle eigenschappen van een groot generaal een eigenschap van Napoleon, en dus van het eerste type. Maar het verwijst naar eigenschappen, en wordt daarom van de tweede orde genoemd. Het schrijft (volgens deze theorie) aan Napoleon alleen de relevante eerste-orde-eigenschap toe. Wanneer we aan de hiërarchie der typen die der orden toevoegen gaat de gewone typentheorie over in de vertakte typentheorie. (Termen als ‘tweede orde’ worden echter meestal in een meer losse zin gebruikt.) Ook proposities worden in orden onderscheiden. Een propositie die niet naar andere proposities verwijst is van de eerste orde. Een propositie die naar proposities van de eerste orde verwijst (bijvoorbeeld ‘sommige proposities van de eerste orde zijn onwaar’) is van de tweede orde, enzovoort. De vertakte theorie werd gebruikt om de semantische paradoxen, bijvoorbeeld die van de leugenaar, op te lossen.
Omdat de vertakte theorie bepaalde wiskundige procedures ongeldig maakt voerde Russell het omstreden reducibiliteitsaxioma in, dat zegt dat iedere eigenschap of propositie van hogere orde in principe kan worden vervangen door een eigenschap of propositie van de eerste orde. Van klassen enzovoort die zo worden gedefinieerd dat ze het principe van de vicieuze cirkel schenden wordt gezegd dat ze impredicatieve definities hebben (zie voor een voorbeeld Carnap, pp. 37-38, in Benacerraf en Putnam).
Een van de nadelen van de typentheorie is dat vele woorden, zoals ‘klasse’, ‘propostie’, ‘waar’, systematisch of ‘typisch’ meerduidig worden, met verschillende betekenissen voor ieder type of iedere orde.
R. Carnap, ‘Die logizistische Grundlegung der Mathematik’, Erkenntnis, 1931, herdrukt als ‘The logicist foundations of mathematics’ in P. Benacerraf en H. Putnam (red.), Philosophy of Mathematics, 1964. (Elementair maar verhelderend.)
M. Combès, Fondements des mathématiques, 1971 (Grondslagen van de wiskunde, 1973). (Elementair.)
I.M. Copi, The Theory of Logical Types, 1971. (Uitgebreider.)
