Een woordenboek van de filosofie

Begrippen, stromingen, denkers

Gepubliceerd op 20-04-2017

2017-04-20

Kwantorwoorden

betekenis & definitie

Een groep woorden, waaronder ‘alle’, ‘iedere’, ‘elke’, ‘enige’, ‘sommige’, ‘geen’, ‘een’, die alle op verschillende manieren van doen hebben met het begrip kwantiteit (vgl. kwantificatie).

De traditionele formele logica hield zich voornamelijk met vier soorten proposities bezig: universeel bevestigend (A-proposities genoemd, bijvoorbeeld ‘alle katten zijn zwart’), universeel ontkennend (E-proposities, bijvoorbeeld ‘geen katten zijn zwart’), particulier bevestigend (I-proposities, bijvoorbeeld ‘sommige katten zijn zwart’) en particulier ontkennend (O-proposities, bijvoorbeeld ‘sommige katten zijn niet zwart’). Deze werden voorgesteld als de hoeken van het oppositievierkant, waarvan de zijden en diagonalen logische relaties tussen de proposities weergaven (mits ze alle vier hetzelfde subject en hetzelfde predikaat hadden, in onze voorbeelden ‘katten’ en ‘zwart’). Singuliere proposities (‘deze kat (of Mies) is zwart’) werden traditioneel als universeel beschouwd, hoewel dit complicaties geeft. Het onderscheid bevestigend/ontkennend noemt men kwalitatief, het onderscheid universeel/ particulier kwantitatief.

Zowel bij het oppositievierkant als bij het syllogisme werd aangenomen dat ‘sommige katten zijn zwart’ een logisch gevolg (zie implicatie en gevolg) is van ‘alle katten zijn zwart’. ‘Sommige’ kan betekenen ‘sommige en misschien alle’ (inclusieve interpretatie) of ‘sommige maar niet alle’ (exclusieve interpretatie). De logici hebben bijna altijd de inclusieve interpretatie als handiger beschouwd. Men neemt verder aan dat ‘sommige’ betekent ‘ten minste één’, zodat ‘sommige katten zijn zwart’ nog altijd waar is als er maar één zwarte kat is. In ‘sommige thee is ondrinkbaar’ betekent het ‘niet geen’. In de 19de eeuw rees het zogenaamde probleem van de existentiële invoer, het probleem of een of meer van de bovengenoemde vier proposities logisch impliceren dat er katten bestaan (of zwarte dingen, al kwam dit minder ter sprake). Het bleek dat geen enkele verder aanvaardbare oplossing het oppositievierkant en de traditionele lijst van geldige syllogismen intact liet, al werd het, en wordt het nog steeds, voor het doel van de formele logica als praktisch beschouwd om ‘alle katten zijn zwart’ als existentieel ontkennend op te vatten, d.w.z. als inhoudend dat niets een kat en niet zwart is. Dit is waar als er geen katten zijn, en impliceert dus niet dat er katten zijn. Maar ‘sommige katten zijn zwart’ werd geïnterpreteerd als existentieel bevestigend, d.w.z. als inhoudend dat er op zijn minst één ding bestaat dat zowel een kat als zwart is. Het is duidelijk dat dan ‘alle katten zijn zwart’ niet meer ‘sommige katten zijn zwart’ impliceert.

Het is nogal vreemd om ‘alle eenhoorns zijn zwart’ waar te noemen eenvoudig omdat er geen eenhoorns bestaan. Een mogelijke oplossing (Strawson) is om te zeggen dat ‘er zijn eenhoorns’ niet een logisch gevolg maar wel een presuppositie is van ‘alle eenhoorns zijn zwart’ (zie implicatie en gevolg voor deze en andere distincties). Als er geen bestaan zal de uitspraak niet waar kunnen zijn, maar daardoor hoeft het oppositievierkant niet te worden aangetast.

Laten we echter de volgende zinnen met elkaar vergelijken: ‘alle munten in mijn zak zijn van zilver’, ‘al de munten...’, ‘sommige munten..‘sommige van de...’, ‘geen munten...’, ‘geen van de munten...’. De zinnen met ‘de’ impliceren (d.w.z. hebben als logisch gevolg of veronderstellen) dat er zich munten in mijn zak bevinden. (‘De’ is soms impliciet, bijvoorbeeld in ‘al Jans kinderen’, d.w.z. ‘al de kinderen van Jan’.) Deze zinnen zeggen niets over munten die ik niet in mijn zak heb, maar wel zou kunnen hebben. De andere gevallen zijn echter nogal dubbelzinnig. Het is misschien het meest natuurlijk om ‘alle munten...’ op te vatten als ‘mocht je munten in mijn zak vinden (misschien vind je ze, misschien niet), dan zullen die van zilver blijken (koperen munten gooi ik uit principe weg)’. ‘Sommige (enkele) munten...’ kan hetzij betekenen ‘enkele van de...’, hetzij gebruikt worden als in het ‘vossen’-voorbeeld hieronder, al naar gelang ‘enkele’ benadrukt wordt of niet. Maar ‘enkele’ betekent niet ‘enkele van de’ in ‘er zijn enkele eenhoorns’, noch in ‘er kwamen vannacht enkele vossen mijn tuin in’, hoewel ook in deze gevallen dat wat over de eenhoorns of vossen wordt gezegd hun bestaan impliceert.

Dit alles roept de vraag op of voor sommige of alle kwantoren, in ten minste sommige van hun betekenissen, geldt dat de uitdrukkingen waarin ze voorkomen naar iets verwijzen. Verwijst ‘geen katten zijn zwart’ naar alle katten, om daarvan te zeggen dat ze niet zwart zijn? Verwijst ‘sommige katten zijn zwart’ naar alle katten en zegt het daarvan dat ze niet alle niet zwart zijn, of verwijst het misschien alleen naar de zwarte? Al deze opvattingen brengen problemen met zich mee, en sommige auteurs menen dat kwantoren nooit een verwijzende functie hebben (vgl. distributie, verwijzing).

We beschouwen nog enige andere kwantorachtige uitdrukkingen. Een van de rollen van ‘een’ (of ‘enig(e)’) is duidelijk te maken dat we het over een wet hebben en niet over een feitelijke bewering. ‘Een (enig) lichaam waarop geen krachten werken beweegt zich langs een rechte lijn’ suggereert bovendien minder dat er zulke lichamen zijn dat ‘alle lichamen...’. In combinatie met ‘de’ zal ‘een’ gewoonlijk wél bestaan impliceren: ‘een van de arrestanten moet de moordenaar zijn’. ‘Een van de’ kan echter ook betekenen ‘het geeft niet welk(e): ‘laat een van de kinderen hier komen’ (keuze of willekeur). In het algemeen kan ‘een’ maar hoeft het niet bestaan te impliceren: ‘ik zoek een hond’ kan al of niet betekenen dat ik een bepaalde hond in gedachten heb.

In ‘een walvis leeft in de zee’ tendeert ‘een’ naar ‘alle’, in ‘ik kwam een gebochelde tegen’ is ‘een’ equivalent met de existentiële kwantor (er is een x zo dat x gebocheld was en ik x tegenkwam). ‘Elk(e)’ of ‘ieder(e)’ vestigt meer dan ‘alle’ de aandacht op de individuele objecten in plaats van op het totaal. Stel dat we weten dat bijna alle zwanen wit en slechts enkele zwart zijn. Dan is ‘alle zwanen zijn waarschijnlijk wit’ in zijn meest natuurlijke interpretatie onwaar, terwijl ‘elke zwaan (die je kiest) zal waarschijnlijk wit zijn’ waar is. Merk ook op dat ‘elke zwaan is wit’ impliceert ‘alle zwanen zijn wit’, maar dat ‘elke kandidaat kan winnen’ niet impliceert ‘alle kandidaten kunnen winnen’. Toch kan ook ‘alle’ zowel distributief worden gebruikt, bijvoorbeeld in ‘alle soldaten zijn dienstplichtigen’, als collectief: ‘ik betwijfel of alle soldaten die vijand kunnen verslaan’. En omgekeerd kan ‘ieder’ behalve collectief ook distributief worden gebruikt, zoals in ‘ik vroeg iedereen te komen’ wanneer ik het alle aanwezigen afzonderlijk vroeg veeleer dan me tot de aanwezigen als collectief te richten.

Enkele andere kwantorachtige uitdrukkingen zijn ‘vele’, ‘de meeste’, ‘verscheidene’, ‘een paar’, ‘wat’ (‘heb je wat geld voor me?’), de telwoorden, en soms ‘de’: ‘de walvis is een zoogdier’, waarin ‘de’ zijn generaliserende betekenis waarschijnlijk ontleent aan verwijzing naar de soort (‘de soort walvis is
een zoogdierensoort’). Zie ook kwantificatie.
L.T.F. Gamut, Logica, taal en betekenis, 1982, deel 1. (Zie de index.)
N. Rescher, Introduction to Logic, 1964, hoofdstuk 14. (Standaardbehandeling van de universele en de existentiële kwantor.)
T. Czezowski, ‘On certain peculiarities of singular propositions’, Mind, 1955. (Vgl. J.L. Mackie, ‘ “This” as a singular quantifier’, Mind, 1958, en L. Gumanski, ‘Singular propositions and “this” as a quantifier’, Mind, 1960.)
P.F. Strawson, Introduction to Logical Theory, 1952. (In hoofdstuk 6 wordt ‘existentiële invoer’ besproken.)
P.T. Geach, Reference and Generality, 1962. (Bespreekt kwantoren en hun verband met verwijzing, met conjunctie en disjunctie en met bereik. Verwijst ook naar middeleeuwse beschouwingen.)
W.V. Quine, Word and Object, 1960, §29. (Kwantorwoorden en bereik.)
Z. Vendler, ‘Each and every, any and all’, Mind, 1962. (Vgl. ook zijn artikel ‘Any and all’ in P. Edwards (red.), The Encyclopedia of Philosophy, 1967, waar hij dit onderwerp in verband brengt met wetenschapsfilosofie.)
E.S. Klima, ‘Negation in English’, in J.A. Fodor en jj. Katz (red.), The Structure ofLanguage, 1964. (Uitvoerig en technisch.)