Kwantificatie betekenis & definitie

Letterlijk: specificatie van kwantiteit. Twee soorten proposities zijn in de formele logica van groot belang: proposities die iets zeggen over alles, of over alles van een bepaalde soort, en proposities die iets zeggen over ten minste één zaak, of over ten minste één zaak van een bepaalde soort.

Hieraan beantwoorden de twee voornaamste kwantoren. (In het volgende is x een individuele variabele.) De universele of al-kwantordie. x ‘bindt’ (zie varia B E L E ) wordt gesymboliseerd door ‘(x)’ of ‘(Ax)’, soms door ‘(nx)’, spreek uit ‘voor alle (iedere) x’. De existentiële kwantor wordt gesymboliseerd door ‘(Ex)’, soms door ‘(lx)’, spreek uit ‘voor sommige (d.w.z. ten minste één) x’ of ‘er is ten minste één x zodanig dat’. (Behalve bij ‘(x)’ worden de haakjes soms weggelaten.)

Als we ‘Rx' zetten voor ‘x is rood’ zijn typische zinnen ‘(Ax) (Rxf: ‘voor alle x geldt: x is rood’, d.w.z. ‘alles is rood’, en ‘(Ex) (Rx)’: ‘voor sommige x geldt: xis rood’, d.w.z. ‘er is ten minste één rood ding’. De ‘x’ die in beide gevallen binnen het eerste paar haakjes staat kan al of niet als deel van de kwantor worden beschouwd. De haakjes waarvan het linker onmiddellijk na de kwantor staat (‘(RxJ in de voorbeelden hierboven) bepalen het bereik van de kwantor, d.w.z. hoeveel van de erop volgende uitdrukking erdoor wordt bestreken, of hoeveel van die uitdrukking iets over de variabele zegt. (De precieze conventies met betrekking tot haakjes e.d. lopen ook weer uiteen.) Deze twee kwantoren kunnen beide in termen van de ander worden gedefinieerd, met gebruikmaking van de negatie.

Er zijn nog andere kwantoren, zoals ‘voor de meeste x’, ‘voor precies één x’ (de singuliere kwantor), ‘voor precies 2 x’, enzovoort. Er wordt over de waarden van een door een kwantor gebonden variabele gekwantificeerd. In de voorbeelden hierboven wordt gekwantificeerd over objecten in het algemeen, maar soms is het gebied van de objecten waarover gekwantificeerd wordt (het domein, in het Engels universe of discourse) beperkt: zie meersoortige logica. Wanneer gekwantificeerd wordt over predikaten zet men meestal ‘f of ‘F’ in plaats van ‘x’; ‘Ef betekent ‘er is ten minste één predikaat zodanig dat’.

Kwantificatie is referentieel wanneer men ervan uitgaat dat zij het bestaan, als ‘reële objecten’, van de waarden der variabelen impliceert (vgl.
de opvattingen van Quine). In het andere geval is zij substitutioneel. Beschouw ‘Jan is lang’. Kunnen we daaruit afleiden ‘(E/) (Jan is/)’? Voor hen die kwantificatie substitioneel interpreteren is dit onschuldig, omdat het slechts inhoudt dat Jan een eigenschap heeft. Maar zij die kwantificatie referentieel interpreteren kunnen de gevolgtrekking verwerpen omdat deze een realistische opvatting van universalia als lengte lijkt te impliceren.
J.A. Faris, Quantijïcation Theory, 1964. (Semi-elementair. Zie ook de bij logica genoemde inleidingen.)
R.B. Marcus, ‘Interpreting quantification’, Inquiry, 1962. (Referentiële en
substitutionele kwantificatie.)