(wiskunde) is de naam voor een algebraïsch systeem met dubbele compositie, d.w.z. een ring is een verzameling van elementen, waarvoor twee bewerkingen, optelling en vermenigvuldiging genaamd, bestaan. Daarbij wordt geëist, dat voldaan is aan de volgende voorwaarden:
I. Optellingswetten.
1. associatieve wet: a + (b + c) = (a + b) + c.
2. commutatieve wet: a + b = b + a.
3. oplosbaarheid van de vergelijking a + x = b voor alle a en b.
II. Vermenigvuldigingswetten.
1. associatieve wet: a.bc = ab.c.
III. Distributieve wetten.
1. a. (b + c) = a.b + a.c.
2. (b + c) .a = b.a + c.a.
Geldt bovendien II 2: a.b = b.a voor elk paar elementen, dan spreekt men van een commutatieve ring.
Elke ring bezit één (en slechts één) nulelement 0, met de eigenschap a + 0 = a voor alle a. Verder bezit elk element a een tegengesteld element − a met de eigenschap − a + a = 0. Men kan nu ook sommen en producten van meer dan twee elementen definiëren. Het kan voorkomen, dat een product a.b = 0, terwijl a ≠ 0, b ≠ 0. In dat geval heten a en b nuldelers van de ring. Een commutatieve ring zonder nuldelers heet integriteitsgebied.
Voorbeelden: de ring van de gehele getallen en die van de rationale getallen zijn ringen zonder nuldelers. De getallenparen (a1 ; a2), waarin a1 , a2 bijv. rationale getallen voorstellen, terwijl
(a1 ; a2) + (b1 ; b2) = (a1 + b1 ; a2 + b2), (a1 ; a2).
(b1 ; b2) = (a1b1 ; a2b2) vormen een ring met nuldelers. Is R een ring, Rn de verzameling van den n × n matrices met elementen uit R en met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging, dan is, zelfs al is R commutatief, Rn niet commutatief als n > 1; bovendien bezit Rn (voor n > 1) nuldelers.
PROF. DR F. LOONSTRA
Lit.: B. L. v. d. Waerden, Moderne Algebra (Berlin 1950); N. Jacobson, The Theory of Rings (New York 1943); Idem, Lectures in Abstract Algebra (New York 1951).
