(1, filosofie), (afgeleid van het Griekse idea, eigenlijk: aanblik, gestalte) betekent eigenlijk als bijvoeglijk naamwoord: overeenkomstig de idee; als zelfstandig naamwoord wordt het woord dikwijls gebruikt als een meer afgesleten en verzwakte aanduiding van de Platonische idee, d.w.z. van het volkomen oerbeeld dat wij, hetzij bij het scheppen van kunstwerken, hetzij bij zedelijk handelen, hetzij bij ons denken in de gedachte hebben en nastreven, doch dat wij nooit volkomen bereiken kunnen.
In de kennisleer spreekt men van een ideaal geval, daarmee bedoelende de alleen bij benadering zich voordoende constellatie, waarin een overzichtelijk aantal werkingen zich onafhankelijk van storende nevenwerkingen laat waarnemen. Dit begrip is dus een fictie, die echter helpt wetmatige verbanden in de dingen te vinden. De Duitse socioloog Max Weber spreekt van ideaal-typische structuren.
(2), is in de wiskunde de naam, die men aan zekere onderringen van een ring geeft. Een niet-lege deelverzameling j van een ring O heet ideaal en wel rechtsideaal, wanneer
1. j met a en b ook a-b bevat;
2.j met a ook elk product a-r van a met een element r uit 0 bevat: het ideaal moet dus met elk element ook zijn rechtsveelvouden a • r bevatten. Een onderring wordt linksideaal genoemd, wanneer met a en b ook a~b en r-a tot j behoren (r = element uit 0). Van tweezijdig ideaal spreekt men wanneer j zowel links- als rechtsideaal is. Voor commutatieve ringen vallen de drie begrippen samen en dan spreekt men kortweg van idealen. Voorbeelden: het nulideaal, bestaande uit het nulelement alleen, het eenheidsideaal, bestaande uit alle elementen van de ring. Onder het door een element a van 0 voortgebrachte hoofdideaal verstaat men de doorsnede van alle idealen, die a bevatten; dit ideaal, voorgesteld door (a), bestaat (wanneer we veronderstellen, dat de ring commutatief is en een eenheidselement bevat) uit alle elementen r.a. Wanneer een commutatieve ring (zonder nuldelers en mèt eenheidselement) de eigenschap heeft, dat elk ideaal hoofdideaal is, spreekt men van een hoofdideaalring.
Zo is in de ring van de gehele getallen elk ideaalhoofdideaal evenals in de veeltermenring van een lichaam. De ideaaltheorie ontmoet men op talloze plaatsen in de moderne algebra en in de algebraïsche meetkunde.
Lit.: B. L. v. d. Waerden, Moderne Algebra I (1950), II (21940).
