Winkler Prins

Anthony Winkler Prins (1870)

Gepubliceerd op 04-07-2018

Cirkel

betekenis & definitie

Cirkel (Een) noemt men in de meetkunde eene in zich zelve terugkeerende kromme lijn, die overal even ver verwijderd is van een met haar in hetzelfde vlak gelegen punt, het middelpunt geheeten. Een gedeelte van een cirkel is een boog. De ruimte, door die lijn (ook omtrek genoemd) omsloten, noemt men het cirkelvlak, elke door het middelpunt gaande en door den omtrek begrensde regte lijn eene middellijn (diameter), en elke regte lijn, die van het middelpunt naar den omtrek loopt, een straal (radius).

Elke regte lijn, die 2 punten van den omtrek verbindt, is eene koorde, en als zij verlengd wordt eene snijlijn (secans), terwijl het gedeelte van het cirkelvlak, door een boog en de koorde begrensd, een segment, en het gedeelte tusschen 2 stralen en een boog cirkelsector wordt geheeten. De hoek, door 2 stralen gevormd, is een middelpuntshoek. Eene regte lijn, die den omtrek slechts in één punt aanraakt, is eene raaklijn (tangens).

Met betrekking tot den cirkel kan men het volgende opmerken: Eene loodlijn, op het midden eener koorde opgerigt, gaat door het middelpunt, en omgekeerd verdeelt eene lijn, loodregt uit het middelpunt naar eene koorde getrokken, deze in twee gelijke deelen, en staat eene lijn, die, uit het middelpunt naar eene koorde getrokken, deze in 2 gelijke deelen verdeelt, loodregt op die koorde, — het onbekende middelpunt van een cirkel wordt gevonden, wanneer men eene loodlijn plaatst op het midden eener koorde; deze, aan weerszijden tot den omtrek verlengd, is eene middellijn, en op de helft van deze ligt het gezochte middelpunt. Men vindt het onbekende middelpunt van een boog, wanneer men hierin 2 niet aan elkaar evenwijdige koorden trekt en op het midden van ieder van deze eene loodlijn oprigt: het snijpunt der loodlijnen is dan het middelpunt. Door 3 punten, die in hetzelfde vlak en niet in dezelfde regte lijn liggen, kan men steeds een cirkel trekken; hiertoe vereenigt men die punten door 2 regte lijnen, en plaatst op het midden van ieder van deze eene loodlijn, waarna het snijpunt dier loodlijnen het middelpunt is van den gevraagden cirkel. De raaklijn staat loodregt op den straal, die door het raakpunt gaat, en omgekeerd is de loodlijn, in den omtrek op het eindpunt van een straal opgerigt, eene raaklijn. De hoeken, waarvan de hoekpunten in het middelpunt gelegen zijn, bevatten tusschen hunne beenen bogen, die half zoo groot zijn als de bogen der hoeken van dezelfde grootte, wier hoekpunten zich in den omtrek bevinden. Alle hoeken, in het middelpunt gelegen en door dezelfde bogen begrensd, alsmede alle hoeken, in den omtrek gelegen en door dezelfde bogen begrensd, zijn gelijk, of boven gelijke bogen bevinden zich in het middelpunt en ook in den omtrek gelijke hoeken, en omgekeerd. De middellijn is gelijk aan de zijde van den regelmatigen ingeschreven zeshoek.

Daar het van belang is, de verhouding tusschen de middellijn en den omtrek van een cirkel te weten, daar men dan, bij bekendheid van één van deze, de andere berekenen kan, 't geen vooral in de sterrekunde te pas komt, zoo heeft men die verhouding zoeken te vinden door middel van den in- en omgeschreven regelmatigen veelhoek.

Een veelhoek noemt men in een cirkel ingeschreven,, wanneer zijne hoekpunten in den omtrek gelegen zijn, en omgeschreven, wanneer zijne zijden raaklijnen zijn aan den cirkel, en een veelhoek is regelmatig, wanneer al zijne zijden en hoeken gelijk zijn. In den regelmatigen ingeschreven zeshoek is alzoo de zijde gelijk aan den straal; door die zijden middendoor te deelen kan men vervolgens den 12-hoek, voorts den 24-hoek, den 48-hoek, den 96-hoek enz. trekken, en de verhouding bepalen van de zijde van zulk een veelhoek tot den straal, en alzoo van al de zijden tot den straal (dat wil zeggen het getal, hetwelk uitdrukt, hoe vaak de straal of liever de middellijn in de som der zijden van den ingeschreven veelhoek begrepen is). Nu kan men het aantal zijden zoo groot maken, dat de som der zijden van den veelhoek uiterst weinig van den omtrek van den cirkel verschilt, zoodat beider verhouding tot de middellijn nagenoeg gelijk is; zoekt men die verhouding desgelijks voor een omgeschreven veelhoek, dan zal ook die, wanneer men het aantal zijden zeer groot neemt, nagenoeg gelijk zijn aan de verhouding van de middellijn tot den cirkel en desgelijks tot den som der zijden van den ingeschreven veelhoek. Men kan die berekening door vermeerdering van het aantal zijden van den in- en omgeschreven veelhoek zoover voortzetten, dat de verhoudingscijfers eerst na vele decimalen eenig verschil aanwijzen. Het is derhalve duidelijk, dat door de met elkander overeenkomende cijfers de verhouding van den omtrek tot de middellijn bij benadering wordt aangewezen.

Ludolf van Ceulen vond voor dat verhoudingsgetal de cijfers 3,1415926, wanneer de middellijn = 1 wordt gesteld, — dat wil zeggen: Wanneer men den cirkel uitrolt tot eene regte lijn, zal zijne middellijn er 3,1415926 enz. maal in begrepen wezen. Dat verhoudingsgetal wordt ook het Ludolfiaansche of het getal π genoemd. Het is door Richter, hoogleeraar te Elbing, tot 500 decimalen voortgezet, hoewel de vermelde 7 decimalen, ja, gewoonlijk de 4 eerste voldoende zijn. Men gebruikt ook andere, verhoudingsgetallen van middellijn en omtrek, zooals 7 en 22, alsmede 113 en 355, het eerste geeft in decimalen 3,1428 enz., — het tweede 3,1415929 en is dus slechts een weinig te groot.

Met het getal π wordt nu de omtrek van een cirkel berekend; deze is blijkbaar gelijk aan den dubbelen straal (2 r), vermenigvuldigd met het getal, hetwelk aanduidt, hoe vaak die dubbele straal in den omtrek begrepen is, het getal π; alzoo is de omtrek van eiken cirkel = 2 r π, of = zijne middellijn, vermenigvuldigd met het getal π.

Ook ter berekening van den inhond van den cirkel heeft men eene formule gevonden. Die van den ingeschreven zeshoek is gelijk aan de som van zes gelijkzijdige driehoeken, die alle even groot zijn. Laat men uit het middelpunt van den cirkel eene loodlijn op de veelhoekszijde (s) vallen en noemt men die a, dan zal de inhoud van dien driehoek gelijk zijn ½ a X s, en dus de inhoud van den geheelen veelhoek gelijk aan 6 a X s . Deze formule gaat ook door voor den 12-, 24-, 48-... n-hoek, waarin n een getal is uit bovengenoemde reeks. Men ziet dus, dat de inhoud van zulk een regelmatigen veelhoek steeds gelijk is aan n X a X s . Nu is het duidelijk, dat men 2 door vermeerdering van het aantal zijden, waarbij deze tot den omtrek meer en meer naderen, de loodlijn a zoo lang kan nemen, dat zij nagenoeg niets van den straal, in lengte verschilt. Doet men zulks, dan mag men stellen a = r. De formule voor den inhoud is dus r X n X s . Doch als het aantal zijden van 2 den veelhoek zoo groot is genomen, verschilt hare som nagenoeg niet van den omtrek; alzoo is n X s of de som der zijden van den veelhoek, dus zijn omtrek nagenoeg gelijk aan den omtrek van den cirkel en = 2 r π. Stelt men in de gevondene formule deze uitdrukking in de plaats van n x s, dan verkrijgt men als inhoudsformule r X 2 r π = r2 π, — of met 2 andere woorden: de inhoud van een cirkel is gelijk aan het vierkant van den straal, vermenigvuldigd met het Ludolfiaansche getal. Van ouds hebben vele wiskundigen zich ingespannen om eene uitdrukking te vinden voor een quadraat, hetwelk denzelfden inhoud had als een gegeven cirkel, — doch te vergeefs; men heeft daarvoor alleen een benaderingscijfer. Aan dat voorstel heeft men den naam gegeven van de „quadratuur van den cirkel”, die, even als de „eeuwigdurende beweging (perpetuum mobile)” wel eens genoemd wordt, wanneer men iets wil aanduiden, dat velen zoeken zonder het te kunnen vinden. Men stuit op het bezwaar, dat de middellijn en de tot regte lijn uitgerolde omtrek onderling onmeetbaar zijn.

Men heeft den cirkel verdeeld in 360 graden, ieder graad in 60 minuten en elke minuut in 60 seconden, van welke ieder nog weêr 60 tertiën bevat. Die verschillende deelen worden aangeduid door de teekens °, ', " en '". Eene andere verdeeling van den graad in 100' en van de minuut in 100" is weder in onbruik geraakt.

Een grooten cirkel op een bol noemt men den zoodanige, wiens middelpunt met dat van den bol zamenvalt. Wanneer men op het middelpunt van zulk een cirkel eene lijn plaatst, loodregt op het cirkelvlak en haar aan beide zijden verlengt, dan noemt men de punten, waar die lijn de oppervlakte van den bol ontmoet, de polen van den cirkel.

In de logica hoort men wel eens gewagen van het redeneren in een cirkel. Dit geschiedt, wanneer men ’t geen bewezen moet worden als grondslag van het bewijs aanneemt. Men noemt dit ook petitio principii.