ook wel operationele analyse, studie die zich bezighoudt met het streven beslissingsproblemen op zodanige wijze te vertalen in wiskundige problemen, dat de oplossing van de wiskundige versie van het beslissingsprobleem na terugvertaling de gevraagde beslissing of strategie oplevert. De besliskunde beslaat een groot deel van de activiteiten die in de Verenigde Staten worden aangeduid met operations research en management sciences. De grenzen met bijv. de econometrie en de cybernetica zijn niet scherp afgebakend.
Alhoewel het tijdstip waarop voor het eerst besliskunde werd bedreven moeilijk is te bepalen, kan men toch wel zeggen dat de besliskunde zijn opkomst dankt aan de gecompliceerde beslissingsproblemen, waarvoor men zich in de Tweede Wereldoorlog gesteld zag (bijv. militaire problemen als de bepaling van de optimale omvang van een konvooi schepen). Na de Tweede Wereldoorlog bleek de ontwikkelde benaderingswijze ook goed bruikbaar voor het oplossen van tal van beslissingsproblemen op het gebied van het beheer en de produktie.
In de besliskunde onderscheidt men twee typen van beslissingssituaties. Bij éénstapsbeslissingsproblemen wordt van de beslisser verwacht dat hij slechts één enkele beslissing neemt. De oplossing van meerstapsbeslissingsproblemen, waarin de beslisser in een al of niet begrensd tijdinterval een reeks van min of meer op elkaar afgestemde beslissingen moet nemen, wordt gegeven door een strategie: een beslissingsvoorschrift dat voor ieder tijdstip vaststelt of de beslisser een beslissing moet nemen, en zo ja, welke.
Het vertalen van een beslissingsprobleem in een wiskundig probleem is onverbrekelijk verbonden aan het construeren van een wiskundig model van de te beschouwen beslissingssituatie. Bij de beschrijving wordt gebruik gemaakt van kennis die hetzij door basiswetenschappen (bijv. economie, wiskunde) wordt verschaft, hetzij uit beschikbare gegevens wordt gedestilleerd, of uit waarnemingen wordt verkregen. Bovendien berust het wiskundige model op onderstellingen die op het eerste gezicht redelijk lijken en niet op grond van de kennis dienen te worden verworpen. De kansrekening en de mathematische statistiek spelen een belangrijke rol bij het opstellen en testen van het wiskundige model.
Een belangrijk punt bij de constructie van het wiskundige model is de keuze van het criterium voor het onderling vergelijken van beslissingen en strategieën. In vele beslissingsproblemen houdt het criterium nauw verband met de gemiddelde kosten per tijdeenheid (bijv. bij sommige produktieproblemen het aantal produktiewijzigingen per tijdeenheid). Belangrijk is deze keuze van het criterium, omdat de structuur ervan dikwijls bepalend is voor de vraag of de wiskundige versie van het beslissingsprobleem al of niet met de huidige kennis en hulpmiddelen kan worden opgelost. In de praktijk betekent dit dat vereenvoudigingen in het model moeten worden aangebracht. Uiteraard moet dan worden nagegaan in hoeverre deze vereenvoudigingen het antwoord bepalen.
Een groot deel van de besliskundige research heeft betrekking op het oplossen van speciale typen van wiskundige problemen; dit onderdeel van de besliskunde wordt wel aangegeven met de naam mathematische besliskunde.
leder besliskundig onderzoek begint met een inventarisatie van mogelijke beslissingen of strategieën. Om de effecten van deze beslissingen en strategieën op wiskundige wijze te kunnen bestuderen, dient de beslissingssituatie voldoende kwantificeerbaar te zijn. Aangezien in beslissingssituaties het doen van experimenten veelal is uitgesloten, komen alleen die situaties voor een besliskundig onderzoek in aanmerking, waarvoor geldt dat het vereiste model een doorzichtige structuur bezit. Dit zijn dan ook de redenen waarom besliskundige technieken tot dusver voornamelijk hun toepassing vonden bij het oplossen van bedrijfsproblemen. In principe beperkt de toepassing van besliskundige technieken zich echter niet tot één of meer probleemgroepen.
Bij één-stapsbeslissingsproblemen start de wiskundige-modelvorming met het wiskundig beschrijven van de mogelijke beslissingen.
Het is gebruikelijk een beslissing waaraan n kwantitatieve aspecten te onderscheiden zijn, aan te geven door een vector x met n componenten (x1, x2, …, xn). In een mengprobleem bijv. stellen deze componenten de fracties van de n samenstellende grondstoffen voor.
Ook niet-kwantitatieve beslissingen laten zich dikwijls door vectoren weergeven. Zo kan de vector x = (0, 1, 0) uitdrukken dat de machine 2 wél (x2 = 1) en de machines 1 en 3 niet (x1 = x3 = 0) worden gebruikt bij de komende produktie. Uit de voorgaande toelichting volgt dat sommige componenten van de beslissingsvector alleen geheeltallige waarden mogen aannemen. De verzameling van indices j waarvoor xjgeheel moet zijn, wordt in het hierna volgende steeds aangeduid met G. Omstandigheden, al dan niet typerend voor het beslissingstijdstip, beperken veelal de keuzemogelijkheden. Voor het bovengenoemde mengprobleem moet in ieder geval gelden:
x1 + x2 + ... + xn = 1
xj ≧ 0
(j = 1, 2, ..., n)
maar misschien ook:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≦ b
wanneer het mengsel hoogstens een fractie b aan ruwe celstof mag bevatten en voor de samenstellende grondstoffen deze fracties volgens recente analyses aj (j = 1, 2, ..., n) bedragen. Andere kwaliteitseisen leiden tot soortgelijke voorwaarden.
In het wiskundige model wordt de verzameling van toegelaten beslissingen X gegeven door gelijk- en ongelijkheden van bovenstaand type waaraan de componenten van de beslissingsvector moeten voldoen. Het opstellen van deze relaties vormt dikwijls het moeilijkste onderdeel van de modelvorming en vraagt enige oefening. Zo zal de formulering van het wiskundig equivalent van de voorwaarde: de grondstoffen 1 en 2 mogen dan en slechts dan beide in het mengsel voorkomen als de fractie van grondstof 3 groter dan of gelijk is aan die van 4, wel enige moeite opleveren. In het wiskundig model wordt deze voorwaarde gegeven door:
x1 ≦ xn+1 , x2 ≦ xn+2
x4 − x3 ≦ xn+3
xn+1 + xn+2 + xn+3 ≦ 2 (n + 1, n + 2, n + 3 ∈ G)
waarbij xn+1, xn+2 en xn+3 nieuwe componenten zijn.
(Ga na: x1 > 0 én x2 > 0 → xn+1 = xn+2 = 1 → xn+3 = 0 → x3 ≧ x4.)
Om een keuze te kunnen maken uit de verzameling is een criterium vereist. Als voor grondstof j de kosten per eenheid cj bedragen, dan kan wellicht de volgende functie als criterium dienen:
k = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
In het algemeen is het optimaliteitscriterium een functie K(x1, x2, …, xn) van de componenten van de beslissingsvector x. De wiskundige versie van het éénstapsbeslissingsprobleem luidt nu als volgt: bepaal het maximum (minimum) van k = K(x1, x2, ..., xn) onder x ∈ X en xj is geheel als j ∈ G.
De studie gericht op het oplossen van problemen van dit type heet mathematische programmering. Als alle definiërende functies lineair zijn en verzameling G leeg is, dan spreekt men van lineaire programmering (LP). Vele toewijzings-, produktie-, transport-, maar ook financieringsproblemen laten zich vertalen als LP-problemen; kortom, problemen waarin schaarse middelen als kapitaal, capaciteiten, arbeid enz. zodanig benut moeten worden dat de winst maximaal is of de kosten minimaal zijn. Zowel voor de algemene versie (simplexmethode) als voor LP-problemen met een speciale structuur zijn algoritmen ontwikkeld, die problemen van grote omvang in een redelijke tijd kunnen oplossen. De wiskundige achtergrond van deze methoden wordt gevormd door de lineaire algebra.
Minder gunstig is de situatie als de verzameling G niet leeg is. Naar gelang de verzameling G alle of een deel van de indices bevat wordt de desbetreffende studie geheeltallige of gemengde programmering genoemd. Technieken (snedemethoden) die uitgaan van de algemene probleemstelling, hebben tot dusver niet veel succes gehad. Vandaar dat het onderzoek thans veel meer gericht is op veel voorkomende structuren (branch and bound-methoden). Bij de beschrijving van de beslissingssituaties kan dikwijls met succes gebruik gemaakt worden van begrippen uit de netwerkanalyse (zie Netwerktheorie) en de grafentheorie. Daar vele beheers- en bedrijfsproblemen, waaronder (machine)volgorde-, vervoers-, indelings- en planningsproblemen, slechts vertaald kunnen worden in gemengde LP-problemen, is dit onderzoek zeer intensief. Veel minder talrijk, maar daarom niet minder belangrijk, zijn de problemen die gedefinieerd moeten worden met behulp van niet-lineaire functies. Ook voor het niet-lineaire programmeringsprobleem zijn oplossingstechnieken bekend. De meeste echter leiden slechts onder zeer speciale omstandigheden tot een optimum.
Met enige goede wil kan men stellen dat in ieder meer-stapsbeslissingsprobleem van de beslisser verwacht wordt dat hij een proces bestuurt. Zo’n proces, waarin kosten gemaakt en/of opbrengsten worden verkregen, speelt zich bijv. af om een voorraad, machine of rij wachtenden voor een loket, om een systeem. De verschillende toestanden waarin het systeem zich kan bevinden, laten zich wiskundig beschrijven met een (toestands)vector s.
Wanneer de beslisser zich afzijdig houdt en desondanks het systeem in de loop van de tijd van toestand verandert, zegt men dat het systeem onderworpen is aan een natuurlijk proces, wiskundig gegeven door de (kansverdeling van de) toestanden op toekomstige tijdstippen. Een en ander is nader toe te lichten met het volgende voorbeeld: laat s de omvang (toestand) zijn van een voorraad (systeem) die door verkopen op ongeregelde tijdstippen afneemt (natuurlijk proces). Elke maandagmorgen (beslissingstijdstip) wordt nagegaan of de voorraad moet worden aangevuld en, zo ja, met hoeveel (beslissing). De maximumvoorraad stelt een bovengrens aan de omvang van de bestelling (verzameling van toegelaten beslissingen). Uit bovenstaand beeld volgt dat de toelaatbaarheid van een beslissing X mede bepaald wordt door de toestand s van het systeem op het beslissingstijdstip; de verzameling van toegelaten beslissingen wordt aangeduid met X(s).
Beslissingen brengen in het algemeen toestandsveranderingen met zich mee; het begrip toestand dient derhalve zo ruim gekozen te zijn, dat de nieuwe toestand na de beslissing kan worden aangegeven. Als in bovenstaand beeld de bestelling onmiddellijk wordt afgeleverd, is de nieuwe toestand wederom een (toegenomen) omvang van de voorraad. Is daarentegen aan een bestelling een levertijd verbonden, dan moet hoogst waarschijnlijk aan de toestand bovendien afgelezen kunnen worden hoeveel goederen nog op bestelling wachten en wellicht ook wanneer de desbetreffende orders zijn afgegeven. In voorraadproblemen waarin nageleverd mag worden, als de voorraad ontoereikend is, kan men veelal volstaan met het geven van de economische voorraad (voorraad + hoeveelheid in bestelling). In de eerste fase van de modelvorming kiest men de toestand zelden juist; een eerste analyse van het mathematisch beslissingsprobleem leert de beslisser pas welke informatie op het beslissingstijdstip strikt nodig is.
Doordat de toestand op elk beslissingstijdstip uiteindelijk afhangt van de beslissingen die in het verleden zijn genomen, zal men zonder rekening te houden met latere beslissingen zelden optimaal handelen. Uiteraard zal de beslisser zowel op van te voren vastgestelde als op vrij te kiezen beslissingstijdstippen zijn beslissingen baseren op de dan geldende toestand s′ van het systeem; welk criterium hij ook kiest, de oplossing zal de vorm hebben van een, hiervoor reeds omschreven, strategie die wiskundig wordt weergegeven door de functie x = z(s). In het voorgaande voorraadprobleem is de volgende strategie denkbaar (x = bestelling, s = voorraad, M1 = maximale voorraad):
x = z(s) =
M1 − s als s ≦ − V0
M2 − s als − V0 < s ≦ V1
M3 − s als V1 < s ≦ V2
0 als V2 < s ≦ M1
waarbij de getallen M2, M3, V0, V1 en V2 de toe te passen strategie z bepalen.
Het is duidelijk dat als een strategie wordt toegepast, het natuurlijk proces wegens de extra toestandsveranderingen niet meer geëigend is om de ontwikkeling in de toestand van het systeem te beschrijven. Deze taak wordt nu overgenomen door het beslissingsproces, dat overeenkomstig het natuurlijke proces wordt gedefinieerd.
Het criterium zelf is een functie K(s′; z) van de huidige toestand s' en de toe te passen strategie z. In het algemeen is de optimale strategie z optimaal voor iedere begintoestand s′.
De wiskundige versie van het meerstapsbeslissingsprobleem luidt nu als volgt. Bepaal voor de begintoestand s' die functie x = z(s) waarvoor k = K(s’ ; z) maximaal (minimaal) is onder de voorwaarde dat z(s) ∈ X(s).
Als het criterium de (verdisconteerde) totale (verwachte) kosten aangeeft, kan met behulp van dit criterium bepaald worden hoeveel het de beslisser waard is om niet s′ maar s′′ als huidige toestand van het systeem te hebben. Dank zij dit waardeverschil K(s′; z) − K(s′′; z) kan bijv. worden nagegaan of het misschien voordelig is een deel van de voorraad elders onder de prijs te verkopen. Ook kan worden vastgesteld of de machine die thans in gebruik is misschien beter kan worden vervangen door een toevallig aangebodene. Als K(s; x) de gemiddelde kosten per tijdeenheid aangeeft, kan een functie V(s; x) worden bepaald met de hierboven gegeven eigenschappen. Van deze secundaire informatie kan dikwijls nuttig gebruik worden gemaakt.
Heeft de toestandsvector niet meer dan drie componenten, dan is menig meerstapsbeslissingsprobleem hetzij analytisch hetzij numeriek op te lossen. Voor iedere strategie wordt de criteriumfunctie K(s; z) en V(s; z) gevonden door het oplossen van een stelsel functionaalvergelijkingen in K(s; z) en V(s; z). Voor het opstellen van deze vergelijkingen is dikwijls enige kennis van de kanstheorie vereist. De zgn. strategieverbeteringsmethode stelt voor iedere strategie z vast of z optimaal is, en, zo niet, dan wijst zij een strategie aan die beter is. Op deze wijze ontstaat een rij van strategieën {zn;n = 1, 2, ...} die onder zekere voorwaarden convergeert naar de optimale strategie z. De studie, die gericht is op het oplossen van meerstapsbeslissingsproblemen, heet dynamische programmering; hiermee kan een groot aantal voorraad-, vervangings- en produktieproblemen worden aangepakt.
Wachttijdproblemen worden dikwijls ten onrechte gerekend te behoren tot het terrein van de besliskunde. Indien echter door het toekennen van prioriteiten aan de wachtenden de verwachting van de totale wachttijd moet worden geminimaliseerd, dan ontstaat wederom een meerstapsbeslissingsprobleem.
In de praktijk is men veelal tevreden met goede in plaats van optimale beslissingen. Indien een wiskundig model van de beslissingssituatie is geconstrueerd, kan men vaak met behulp van een rekenautomaat nagaan wat de consequenties zijn van een voorgestelde beslissing of strategie (simulatie). Door het aanbrengen van wijzigingen in de beslissing of strategie kan men dan trachten eventuele tekortkomingen op te heffen. Door eerst deelproblemen op te lossen en daarna door ‘sleutelen en testen’ de resultaten te combineren kunnen op deze wijze voor een aantal beslissingssituaties aanvaardbare beslissingen of strategieën worden verkregen. Deze aanpak vraagt meer kunst dan kunde.
Besliskunde in het bedrijf.
In het bedrijf wordt naast de term besliskunde vaak de Amerikaanse benaming operations research gebruikt. Volgens velen houdt de operations research zich niet alleen bezig met het vraagstuk van de keuze van de optimale beslissing, doch wenst zij bovendien een bijdrage te leveren tot de verbetering van de beslissingsvoorbereiding. Operations research beoogt in de eerste plaats de beslisser een kwantitatief inzicht te geven in de structuur van de beslissingssituatie en hem vervolgens die instrumenten te verschaffen welke bij de keuze van de beslissing te pas kunnen komen. Operations research is bijgevolg veelzijdiger dan de besliskunde zoals deze hierboven is gedefinieerd. Ze heeft dan meer het karakter van een speciale benaderingswijze van het beslissingsprobleem, geïnspireerd door de successen die zowel in de natuurwetenschappen als in de daarmee verwante ‘engineering Sciences’ zijn behaald.
In het bedrijf wordt aan de besliskunde vaak deze ruimere betekenis gegeven; zo omvat de term dus ook activiteiten die behoren tot het werkterrein van andere wetenschappen in zoverre zij zich met de besluitvorming bezighouden, zoals bedrijfseconomie, sociale economie, sociologie, psychologie, statistiek en technische wetenschappen. Met het oog op de praktische toepassing is niet exact te formuleren welke van deze activiteiten wel en welke niet tot de bedrijfsbesliskunde gerekend moeten worden.