AFSTAND

betekenis & definitie

(Fr.: distance; Du.: Abstand; Eng.: distance), de lengte van het rechte lijnstuk dat twee punten verbindt. Is de ruimte voorzien van een rechthoekig cartesiaans coördinatenstelsel, dan is de afstand d in de coördinaten (x₁, y₁, z₁) en (x₂, y₂, z₂) van de twee punten uit te drukken door:

d = √(x₁ − x²)² + (y₁ − y²)² + (z₁ − z²)²

In de euclidische meetkunde is de afstand van twee evenwijdige lijnen de lengte van hun gemeenschappelijke loodlijn; de afstand van twee kruisende rechten de lengte van hun loodrechte transversaal, en de afstand van twee buiten elkaar gelegen bollen de afstand van hun middelpunten, verminderd met de som van hun stralen.

In de wiskunde wordt ook een algemener begrip afstand gebruikt, waarbij aan elk puntenpaar een reëel getal wordt toegevoegd. Indien d(a, b) dit getal is, toegevoegd aan de punten a en b, dan wordt d(a, b) als afstand tussen a en b beschouwd als voor alle punten a, b en c geldt:

1. d(a, b) > 0 dan en slechts dan als a ≠ b
2. d(a, a) = 0
3. d(a, b) = d(b, a)
4. d(a, b) ≦ d(a, c) + d(c, b).

Soms wordt het begrip afstand nog iets ruimer genomen en wordt de eerste eis vervangen door d(a, a) = 0 en d(a, b) ≧ 0. Men spreekt dan gewoonlijk van een pseudo-afstand; het kan dan voorkomen dat twee verschillende punten een pseudoafstand gelijk nul hebben.

Vaak kan men zich de afstand voorstellen als de lengte van de kortste toegestane weg tussen twee punten. Op oppervlakken die aan bepaalde eisen voldoen, kan men tussen twee niet te ver van elkaar gelegen punten een kromme vinden die zo’n kortste weg is: de geodetische lijn. Op een bol zijn dit de grote cirkels; de afstand van twee punten op de bol is dan de lengte van de kortste boog van zo’n grote cirkel tussen de twee punten.

Een ander voorbeeld toont de algemeenheid van de afstandsdefinitie.

Stel dat een aantal mensen een hoeveelheid artikelen moet rangschikken, bijv. naar kwaliteit. Als nu persoon A drie met 1, 2 en 3 aangeduide artikelen zó rangschikt dat hij 1 verkiest boven 2 en dit weer boven 3, en een ander persoon B 3 boven 2 waardeert en dit weer boven 1, dan is de ‘afstand’ tussen deze twee rangschikkingen duidelijk groot. Veel kleiner was die afstand geweest als B bijv. ook 1 had verkozen en 2 en 3 even hoog had aangeslagen. Teneinde exact een afstand tussen deze twee rangschikkingen te bepalen, kan men als volgt te werk gaan. Zij a_ij = 1, als A i verkiest boven j; a_ij = 0, als hij ze even hoog aanslaat, en a_ij = −1, als hij j boven i verkiest. Zoals hierboven aangegeven kunnen i en j gelijk aan 1, 2 en 3 zijn. Wanneer men nu b_ij analoog definieert voor B, krijgt men de afstand:

d = Σ|a_ij - b_ij|

Met andere woorden: men neemt de absolute waarde van alle verschillen a_ij − b_ij en bepaalt daarvan de som.