Oosthoek encyclopedie

Oosthoek's Uitgevers Mij. N.V (1916-1925)

Gepubliceerd op 17-01-2019

Waarschijnlijkheidsrekening

betekenis & definitie

Waarschijnlijkheidsrekening - tak der wiskunde, die zich bezighoudt met het bepalen van de waarschijnlijkheid of kans voor het optreden van een zekere gebeurtenis. De w.heid, dat twee gebeurtenissen plaats hebben, die onafhankelijk van elkaar optreden, is gelijk aan het product der afzonderlijke kansen (theorema van de samengestelde w.heid) B.v. de kans, dat men met een dobbelsteen achtereenvolgens 5 en 4 oogen zal werpen, is 1/6×1/6=1/36 De w.heid, dat van twee gebeurtenissen, die elkaar uitsluiten, óf de eene óf de andere zich zal voordoen, is gelijk aan de som der afzonderlijke kansen (theorema van de totale w.heid). B.v. de kans, dat men òf 5 òf 4 oogen zal werpen, is 1/6+ 1/6=1/3. De kans, dat men eerst 10 maal kruis, dan 5 maal munt zal werpen is (1/2)^10×(1/2)^5, de kans dat men in 15 worpen 10 maal kruis en 5 maal munt zal werpen, onverschillig in welke volgorde, is (15×14×13×12×11)/(1×2×3×4×5) (1/2)^10×(1/2)^5.

Gelukt een proef met de kans p (probabilitas) en mislukt zij derhalve met de kans q = 1-p, dan is de w.heid, dat de proef van de ν=λ+μ malen λ maal zal gelukken en μ maal mislukken: w(λ,μ)=ν!/λ!μ! p^λ q^μ waarbij ν!=1×2×…×ν,λ!=1×2×…×λ,μ!=1×2×…×μ, De w.rek. maakt veelvuldig gebruik van de leer der permutaties en combinaties. Rangschikt men de kans w(λ,μ)naar opklimmende machten van λ: λ=0,1,2,…,ν-1,v ; μ=ν,ν-1,ν-2,…,1,0, dan vertoonen deze kansgetallen een merkwaardig verloop. Hoe grooter men ν kiest, des te nauwkeuriger blijken die getallen gelijk te worden aan de getallen, die men krijgt, door in de uitdrukking 1/√2πpqν·e^(-(λ-pν)^2/2pqν) aan λ waarden van 0 tot νtoe te kennen (theorema van Jac. Bernoulli). De getallen klimmen van zeer geringe waarden (voor kleine waarden van λ) geleidelijk op, tot het hoogste bedrag (voor λ=pν,om daarna weer geleidelijk af te dalen. Kent men de kans p van een gebeurtenis vóór het nemen van de proef (zooals bij het werpen van een dobbelsteen), dan spreekt men van de waarschijnlijkheid a priori. Kent men de w.heid a priori op het gelukken van een proef niet, dan kan men de proef νmaal nemen; gelukt ze dan λ maal en mislukt ze dus ν-λ=μ maal, dan noemt men P=λ/νde waarschijnlijkheid a posteriori op het gelukken van de proef. De kans a posteriori is dan de waarschijnlijkste waarde van de (onbekende) kans a priori.

De kans a posteriori hangt samen met de z.g. waarschijnlijkheid van oorzaken en wordt beheerscht door twee theorema’s van Bayes. Bepaalt men van eenige waamemingsuitkomsten x_1,x_2,…,x_n,optredende met frequenties (veelvuldigheden) Y_1,Y_2,…,Y_n, het arithmetische gemiddelde ▁x =〖Y_1 x_1+Y_2 x_2+⋯ +Y_n x_n〗_ /(Y_1+Y_2+ …+Y_n ) en vormt men x_1-▁x=u_1,x_2-▁x=u_2,…,x_n-▁x=u_n, welke verschillen „schijnbare fouten” worden genoemd, dan zijn de frequentiegetallen Y_1,Y_2,…,Y_n, volgens de foutenwet van Gauss, ten naaste bij evenredig met de getallen, die men krijgt door in de uitdrukking e^(-h^2 u^2 ) voor u te nemen u_1,u_2,…,u_n,waarbij h dan bepaald is uit 1/(2〖h^2〗^ )=(Y_1 u_1^2+ Y_2 u_2^2+ …+Y_n u_n^2)/(Y_1+ Y_2+ …+Y_n )=▁(u^2 )=ε^2, ε heet de „middelbare fout”, h de modulus van nauwkeurigheid. Naast de middelbare fout onderscheidt men ook de „gemiddelde fout”, d. i. het gemiddelde van de absolute waarden der schijnbare fouten, en de „waarschijnlijke fout”, d. i. het bedrag van de absolute waarde van de fout u, waarbinnen de helft der gevonden fouten u valt. De onzekerheid in het gemiddelde ▁x is √n maal zoo klein als ε, waarbij N=〖Y_1+Y_2+⋯+Y_n.〗^Heeft men de kans p_1 op een winst x_1,de kans p_2op een winst x_2,de kans p_nop een winst p_n,dan heet p_1 x_1+p_2 x_2+⋯+p_n x_n de „mathematische hoop”. Naast de mathematische hoop heeft men ook de z.g. „moreele hoop” ingevoerd, welke omgekeerd evenredig wordt gesteld met het kapitaal, dat men reeds bezit. De foutenleer voor meer veranderlijken b.v. x en x^1heeft aanleiding gegeven tot het begrip correlatie. Wanneer groote waarden van x bij voorkeur gepaard gaan met groote waarden van x^1,spreekt men van positieve correlatie. Men meet de correlatie door de z.g. „correlatiecoëfficient”.

De w.rek. is gegrondvest door Pascal en Fermat en door velen der voornaamste wiskundigen beoefend, in ’t bijzonder door Jac. Bernoulli, Dan. Bernoulli, Euler, Laplace, Poisson, Gauss, Poincaré, Lexis en Bruns, die de z.g. „Kollektivmasslehre” als uitbouw van de w.rek. heeft opgesteld. Galton en Quetelet hebben de foutenleer van Gauss toegepast op de statistiek. Quetelet vond, dat de borstomvang (de lengte, de armlengte, enz.) van Belgische recruten volgens dezelfde frequentiewet varieerde als de uitkomsten van een natuurkundige of sterrekundige meting. Zoodoende is de w.rek. in de biologische statistiek van groot nut gebleken. De z.g. scheeve frequentiekrommen zijn o. a. onderzocht door den Ned. sterrekundige J. C. Kapteijn.