Oosthoek 1916

Nederlandse encyclopedie, uitgegeven van 1916-1925.

Gepubliceerd op 17-01-2019

Rekenkunde

betekenis & definitie

Rekenkunde - Arithmetica, de wetenschap die zich bezighoudt met de eigenschappen der getallen. De grondeigenschap der r. is, dat een hoeveelheid niet verandert, in welke volgorde men de eenheden, waaruit de hoeveelheid is samengesteld, ook neme, of op welke wijze men die eenheden ook tot groepen vereenige. In de r. stelt men de getallen (zie GETAL) voor met behulp van cijfers. De cijfers van een zoo voorgesteld getal hebben een volstrekte en een betrekkelijke waarde; de volstrekte waarde van een cijfer geeft aan, hoeveel eenheden dat cijfer voorstelt ; de betrekkelijke waarde van een cijfer geeft aan, hoe groot de eenheden zelf zijn, welke het cijfer voorstelt.

Men onderscheidt eenheden van de eerste, tweede, derde, vierde orde enz., en bijzonder bij het tiendeelige of decimale stelsel eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen, enz. Van het eerste cijfer rechts van een getal is de betrekkelijke waarde 1, van het daarop volgende cijfer is de betrekkelijke waarde 10, enz. Alle vragen omtrent de getallen kunnen worden opgelost met behulp van de vier hoofdbewerkingen der r. : optelling, vermenigvuldiging, aftrekking, deeling.

De optelling, samentelling of additie leert de som vinden van twee of meer gelijknamige getallen ; of : het getal vinden dat zoo groot is als twee of meer gelijknamige getallen te zamen ; onder de som Van twee of meer getallen verstaat men het getal, dat verkregen wordt door bij het eene getal al de eenheden van het andere getal of van de andere getallen te voegen. Om aan te duiden, dat getallen moeten worden samengeteld, plaatst men tusschen alle opvolgende getallen het teeken +, „plus” geheeten. Bij de optelling kunnen zich drie gevallen voordoen : optelling van twee getallen, ieder van één cijfer, optelling van een getal van één cijfer bij een getal van twee of meer cijfers, optelling van een willekeurig aantal getallen, ieder van een willekeurig aantal cijfers. Men pleegt de op te tellen getallen zoodanig onder elkaar te plaatsen, dat de eenheden van dezelfde orde in één kolom staan, en dan met optellen te beginnen met de eenheden der eerste orde, daar alsdan de samentelling van elke kolom dadelijk een cijfer van de uitkomst oplevert.

De aftrekking of subtractie is een bewerking, welke leert het verschil vinden van twee gelijknamige getallen ; of : van een gegeven getal zooveel eenheden af te nemen als er in een ander gegeven getal zijn. Het getal, dat overblijft, als men van een gegeven getal zooveel eenheden heeft afgenomen, als er in een ander getal gegeven zijn, heet het verschil der gegeven getallen ; het grootste der twee bedoelde getallen noemt men aftrektal, het kleinste aftrekker. Om aan te duiden, dat een getal moet afgetrokken worden van een ander, plaatst men tusschen dat getal en het andere het teeken —, „min” geheeten. Het aftrektal bevat evenveel eenheden als aftrekker en verschil samen, is derhalve de som daarvan, en men kan de bewerking der substractie daarom ook omschrijven met te zeggen, dat zij het getal leert vinden, dat men bij het kleinste van twee gegeven getallen moet optellen om het grootste te verkrijgen. Men is bij de bewerking der aftrekking gewoon het kleinste getal zoo onder het grootste te plaatsen, dat de eenheden van dezelfde orde onder elkander staan: eenheden onder eenheden, tientallen onder tientallen, enz.; onder het kleinste getal komt dan een streep en daaronder komt dan de uitkomst.

De vermenigvuldiging of multiplicatie leert de som vinden van eenige gelijke getallen (die som heet dan het product van een dier getallen met hun aantal); of: een getal zooveel maal nemen als door een ander wordt voorgesteld. Een dier gelijke getallen wordt het vermenigvuldigtal genoemd en het getal, dat aangeeft, van hoeveel gelijke getallen de som moet worden genomen, de vermenigvuldiger, terwijl beide getallen in het algemeen factor worden geheeten. Ter aanduiding dat twee getallen met elkander vermenigvuldigd moeten worden, plaatst men tusschen beide het teeken X, „maal” geheeten. Om de bewerking uit te voeren schrijft men den vermenigvuldiger onder het vermenigvuldigtal en onder den eersten een streep, waaronder dan de verschillende cijfers van de uitkomst komen. Het product van twee getallen ieder van één cijfer kan gevonden worden door de gelijke getallen op de gewone wijze op te tellen, en elke vermenigvuldiging, hoe groot de factoren ook mogen zijn, wordt tot dit eenvoudigste geval teruggebracht. Om vlug te kunnen vermenigvuldigen is het daarom noodig, alle producten van twee getallen, ieder van één cijfer (tafel van vermenigvuldiging) van buiten te kennen. Om een willekeurig getal te vermenigvuldigen met een term van de schaal van het tientallig stelsel plaatst men achter dat getal eenvoudig zooveel nullen als in den term voorkomen. Het product van twee willekeurige getallen verkrijgt men door den vermenigvuldiger in deelen (eenheden, tientallen, enz.) te splitsen, het vermenigvuldigtal met elk dier deelen te vermenigvuldigen, en van al die gedeeltelijke producten de som te nemen.

De uitkomst die verkregen wordt als men twee getallen met elkander vermenigvuldigt, het komende product met een derde getal, enz., noemt men gedurig product, en de verschillende met elkander vermenigvuldigde getallen factoren. De waarde van een gedurig product is onafhankelijk van de volgorde der factoren. Een gedurig product verandert niet van waarde als men een willekeurig aantal der factoren vervangt door hun product. Een product van eenige factoren, alle gelijk aan eenzelfde getal, noemt men een macht van dat getal, en het aantal der factoren den graad der macht. Om een macht van een getal aan te geven schrijft men het getal slechts éénmaal en rechts ernaast iets hooger een kleiner geschreven getal, dat den graad van de macht aanwijst. Dit laatste getal heet exponent. De bewerking, die dient om een macht van een getal te verkrijgen, wordt machtsverheffing genoemd. (Zie LOGARITHMEN).

De deeling of divisie leert vinden hoe dikwijls een getal begrepen is in een ander, of anders gezegd, hoe dikwijls een getal kan worden afgetrokken van een ander getal. Het getal waarvan men aftrekt heet deeltal, het getal dat men aftrekt deeler, de uitkomst quotiënt, en het getal dat overblijft als de deeler zoo dikwijls mogelijk van het deeltal is afgetrokken, rest; is de rest nul, dan zegt men dat de deeling opgaat. Om aan te duiden dat de bewerking der deeling moet plaats hebben zet men achter het deeltal het teeken : , „gedeeld door” geheeten, en daarachter den deeler; ook kan men den deeler onder het deeltal plaatsen, met een streep tusschen beide.

Wanneer de deeling van een getal door een zeker getal opgaat, dan zegt men dat het eerste getal deelbaar is door het tweede getal, en noemt dit laatste een deeler of factor van het eerste getal. Elk getal is deelbaar door de eenheid en door zichzelf ; de eenheid en het getal zelf worden echter niet als deelers gerekend. Als een getal geen andere deelers bevat dan de eenheid en zichzelve, zegt men dat het ondeelbaar is. Algemeene eigenschappen van deelbaarheid zijn de volgende :

1. als een getal door eenige ondeelbare of onderling ondeelbare getallen deelbaar is, dan is het ook deelbaar door het product van twee of meer dezer deelers ;
2. als een getal deelbaar is door een deelbaar getal, dan is het ook deelbaar door al de deelers van dien deelbaren deeler ;
3. als eenige getallen door eenzelfde getal deelbaar zijn, is de som dezer getallen ook door dat getal deelbaar ;
4. als bij de som van eenige getallen die alle door eenzelfde getal deelbaar zijn, een getal gevoegd wordt, dat niet door dien deeler deelbaar is, dan zal, wanneer men de laatste som door dien deeler deelt, eenzelfde getal overblijven als er overblijft wanneer men het bijgevoegde getal alleen door dien deeler deelt;
5. als twee getallen door eenzelfde getal deelbaar zijn, is het verschil dezer getallen ook door dat getal deelbaar ;
6. als een getal een deeler is van een ander getal, dan is het ook een deeler van alle veelvouden van dat getal.

Voor de kenmerken van deelbaarheid zie bij de verschillende getallen. Voor grootste gemeene deeler zie aldaar. Voor breuken zie aldaar.