Oosthoek Encyclopedie

De Oosthoek is een Nederlandse encyclopedie die in verschillende uitvoeringen is verschenen

Gepubliceerd op 15-06-2020

wiskunde

betekenis & definitie

v., (ook: mathematica, mathesis), de wetenschap die zich met grootheden en uitgebreidheden als zelfst. gegevens bezighoudt.

(e) De wiskunde, een van de oudste wetenschappen, is ontstaan uit het onderzoek van getal en vorm (→rekenkunde, →meetkunde). Aanvankelijk diende de wiskunde uitsluitend alledaagse praktische doeleinden, zoals het berekenen van oppervlakten van stukken land, lonen en voorraden, maar zij heeft zich in de loop der eeuwen ontwikkeld tot een abstracte wetenschap, waarin de conclusies niet getrokken worden op grond van zintuiglijke waarneming (→inductie), maar op grond van redeneringen die uitgaan van bepaalde axioma’s (→deductie). Hierbij mag niet vergeten worden dat bij het creatieve proces van de opbouw van wiskundige theorieën het inzicht en de intuïtie een voorname rol spelen; eerst bij de definitieve opstelling van de theorie staan logische fundering en exacte bewijsvoering centraal. De resultaten van de wiskunde zijn op velerlei gebied toepasbaar: economie en econometrie (o.a. →operationele analyse en→speltheorie); sociologie (variantieanalyse); linguïstiek (transformationele generatieve grammatica van N.Chomsky); natuurkunde; biologie (catastrofentheorie van Thom) enz.

Wanneer men afziet van de moeilijk te dateren oudste Chinese wiskunde (Chou Pei Suan Ching, 1200 v.C.?), dan treft men de eerste voorbeelden van wiskunde aan in Babylonische kleitabletten (vanaf 2000 v.C.) en Egyptische papyri (Rhindpapyrus ca.1800 v.C.). De ontwikkeling tot een strenge deductieve wetenschap vond plaats in Griekenland, waar de wiskunde een periode van grote bloei beleefde (600 v.C.-300 n.C). Aan het begin hiervan stonden →Thales van Milete en →Pythagoras. De oudste bewaard gebleven verhandelingen zijn van Autolykos van Pitane (300 v.C.). Het belangrijkste Griekse wiskundige geschrift vormt de Elementen van→Eukleides (3e eeuw v.C.). In deze periode leverden ook →Archimedes en →Apollonios van Perge belangrijke bijdragen.

De bloeiperiode van de Griekse wiskunde wordt afgesloten met het werk van o.a. →Diofantos (3e eeuw n.C.). Van ca.300-800 lag het zwaartepunt van de wiskundestudie in India (→Aryabhata, →Brahmagupta). Vele Griekse wiskundige werken vonden hun weg naar West-Europa via de Arabische wereld, waar ca.800 veel Griekse, Indische en Chinese wiskundige werken vertaald werden in het Arabisch. Ook leverden de Arabieren eigen bijdragen (o.a. door het invoeren van bepaalde cijfertekens, het decimale positiestelsel en een verbale→algebra) en bevorderden zij een synthese van Chinese, Indische, Babylonische en Griekse wisen sterrenkunde.

In de 11e— 12e eeuw werden veel van deze werken uit het Arabisch in het Latijn vertaald en konden zo doordringen tot West-Europa. Overigens verkeerde de beoefening van de wiskunde in West-Europa tussen 400—1400 in een diep dal. Pas in de renaissance bloeide de algebrabeoefening weer op (→Cardano, 1501-76) en ontstond→projectieve meetkunde.

In de 17e eeuw herleefde de wiskunde als geheel, mede dankzij de boekdrukkunst en de vertalingen van de Griekse wiskundige werken. In deze periode ontstonden de →differentiaalrekening en →integraalrekening (→Fermat, →Newton, →Leibniz), de analytische meetkunde (→Descartes, Fermat) en de kansrekening (→Pascal, →Huygens). Karakteristiek voor deze tijd is het naar voren komen van →heuristische methoden ten koste van strenge deductieve redeneringen, het overwicht van algebraïsche methoden over de meetkundige bewijstrant en het ontstaan van niet aan de natuur ontleende begrippen zoals negatieve, irrationele en complexe getallen. In de 18e eeuw breidde de analyse zich sterk uit en verdrong de meetkunde voor een groot deel. De wiskundigen vonden hun inspiratie vooral in problemen uit de natuurkunde en m.n. de hemelmechanica. De bewijzen waren vaak niet streng; men vertrouwde, gezien de praktische resultaten, op de formele rekenwijzen. Grote figuren: J.Bernoulli, D.Bernoulli, L.Euler, J.F.Lagrange en P.S.Laplace.

In de 19e eeuw leidde een bezinning op het reeds bekende tot een axiomatische fundering en strengere bewijsvoering en tot het invoeren van abstracte, unificerende begrippen; overigens bevestigden deze strenge bewijzen in hoofdzaak de reeds bekende resultaten. O.a. de meetkunde kreeg weer meer aandacht met als nieuwe onderwerpen de →meerdimensionale meetkunde (Grassmann) en de →nieteuclidische meetkunde (W.von Bolyai en J.von →Bolyai,→Lobatsjevski). De →getallentheorie (een onderdeel van de wiskunde dat niet aan de natuurwetenschappen ontleend is) werd diepgaand bestudeerd (→Gauss). De algebra kreeg door het werk van →Galois en →Abel een geheel nieuw aanzien. Nieuw ontsloten gebieden waren o.a. de (complexe) →functietheorie (→Cauchy, →Weierstrass, →Riemann), de theorie van de→quaternionen (→Hamilton), de →invariantentheorie en de bestudering van ‘het oneindige’. Belangrijke ontwikkelingen aan het einde van de 19e eeuw waren de opkomst van de →verzamelingenleer (G.Cantor) en de →topologie (→Klein, →Poincaré).

Het begin van de 20e eeuw confronteerde de wiskundigen met problemen aangaande de grondslagen van de wiskunde. Aanleiding daartoe waren paradoxen in de verzamelingenleer, de vraag naar de consistentie van de wiskundige theorieën, en de vraag naar de toepasbaarheid en betrouwbaarheid van de beginselen van de logica voor de wiskunde. Pogingen om dit laatste probleem op te lossen leidden tot het ontstaan van drie richtingen: het logicisme, het intuïtionisme en het formalisme. De logicistische school vertegenwoordigd door →Russell en →Whitehead meende dat de wiskunde een onderdeel is van de logica en als zodanig daaruit afleidbaar. De intuïtionisten, onder leiding van L.E.J.Brouwer, stellen zich op het standpunt dat de wiskunde aan de logica voorafgaat. De intuïtionistische wiskunde verschilt in grote delen radicaal van de voordien geaccepteerde wiskunde; zo aanvaarden de intuïtionisten geen indirecte bewijzen.

Het door→Hilbert bepleite formalisme ziet de wiskunde als een collectie formele systemen, waarin formele uitdrukkingen ontstaan door formele ‘spelregels’ (Hilbert hield vast aan deze opvatting ondanks het feit dat →Gödel in 1931 zijn →onvolledigheidsstelling bewees). In het algemeen wordt de ontwikkeling binnen de wiskunde in de 20e eeuw gekenmerkt door een verdergaande abstractie, uniformisering en generalisatie met daarmee gepaard gaande een verfijning en verscherping van de wiskundige taal. Door deze tendens van uniformisering was het mogelijk om in veel, ogenschijnlijk verschillende, situaties het gemeenschappelijke te herkennen en daarover uitspraken te doen op grond van abstracte afgeleide, algemene stellingen. Daardoor kan men vanuit de maatschappij een beroep doen op de wiskunde, waardoor tevens de wiskunde een andere plaats kreeg in de samenleving. De wiskundige leeft dan ook niet langer, zoals vroeger vaak het geval was, in een isolement en de scheiding tussen ‘zuivere’ en ‘toegepaste’ wiskunde vervaagt. Hoofdonderdelen van de wiskunde die thans in de belangstelling staan zijn: analyse, topologie, algebra (waaronder o.a. lineaire algebra, groepentheorie, theorie van de eindige →lichamen), →getallentheorie, meetkunde, →mathematische fysica, →statistiek en →waarschijnlijkheidsrekening, →informatica, →operationele analyse, →speltheorie, →numerieke wiskunde, →computerkunde.

Men kan deze takken van de wiskunde verdelen in twee gebieden, nl. die waar het limietbegrip centraal staat (o.a. analyse en topologie) en die waarin dit niet aan de orde komt, kortweg: een scheiding in continue en niet-continue wiskunde. De laatste groep vat men wel samen onder de naam discrete wiskunde, waartoe men rekent: →algebra en →Boole-algebra, grafentheorie (→graaf), coderingstheorie. Deze onderdelen van de wiskunde zijn echter niet streng gescheiden, maar beïnvloeden elkaar over en weer. Zo worden in de getallentheorie zowel analyse als groepentheorie en zelfs waarschijnlijkheidsrekening gebruikt, terwijl de →computer hier zeer ingewikkelde berekeningen mogelijk maakt. Een spectaculair voorbeeld van de toepassing van de computer is de oplossing van het →vierkleurenprobleem. Een onderdeel dat in vrijwel alle gebieden van de wiskunde een rol speelt, is de lineaire algebra, met haar sterk unificerende begrippenapparaat. Onderwijs in de wiskunde.

De uitbreiding van de toepassingsgebieden van de wiskunde heeft ook de vraag naar wiskundeonderwijs op allerlei niveaus doen groeien, m.n. in het secundaire onderwijs en het hoger beroepsonderwijs. Hierop werd in Nederland (in navolging van de VS) gereageerd (Mammoetwet, 1968) door een herziening van het standaardprogramma: gebruik van moderne beschrijvingstaal (taal van de verzamelingenleer en moderne notaties) en een algebraïsering van de behandeling door te wijzen op onderliggende structuren en wetten. Daarnaast werd door het aanbieden van keuzepakketten een grotere flexibiliteit bereikt. Tegenover het invoeren van nieuwe onderwerpen als analyse, lineaire algebra, statistiek en waarschijnlijkheidsrekening, stond een sterke reducering van de klassieke meetkunde, terwijl ook de aandacht voor structuren vaak ging ten koste van praktische vaardigheid in het uitvoeren van bewerkingen. De voorbereiding en de begeleiding van de programmawijzigingen is lange tijd in handen geweest van de Commissie Modernisering Leerplan Wiskunde (CMJW), die vanaf 1971 samenwerkte met het Instituut voor de Ontwikkeling van het Wiskundeonderwijs te Utrecht, welk instituut zich ook bezighoudt met wiskundeonderwijs op de basisscholen (het project Wiskobas). Aan de universiteiten is een ontwikkeling gaande waarbij afstuderen in een van de volgende drie varianten mogelijk is: researchwiskundige, praktijkwiskundige, leraar. [dr.A.W.Grootendorst] LITT. D.J.Struik, Geschiedenis van de wiskunde (1953; herdr. 1977), C.B.Boyer,, A history of mathematics (1968); N.Bourbaki, Éléments d’histoire des mathématiques (1969); M.Kline, Mathematical thought from ancient to modern times (1972).