v., onderdeel van de wiskunde dat kansen en hiermee samenhangende begrippen bestudeert.
De Franse wiskundige P.S. Laplace heeft het begrip ‘kans’ als volgt gedefinieerd: wanneer bij een bepaald experiment n mogelijke uitkomsten zijn, en er is geen reden om aan te nemen dat enige uitkomst vaker zal optreden dan een andere, dan is de kans op een gebeurtenis A gelijk aan het aantal uitkomsten waarbij A optreedt, gedeeld door n. B.v.:
1. het experiment dat bestaat uit het werpen met een dobbelsteen; het aantal n der uitkomsten is hier dus gelijk aan 6. Wanneer de dobbelsteen zuiver is, en als er ‘eerlijk’ gegooid wordt, is de kans op de gebeurtenis ‘ogenaantal groter dan 4’ gelijk aan 2/6, immers 2 van de 6 mogelijke uitkomsten zijn groter dan 4;
2. het experiment dat bestaat uit het opgooien van 3 verschillende munten. Iedere munt kan in kruis of in munt resulteren. Er zijn dus 23 = 8 mogelijke uitkomsten. De kans op precies eenmaal kruis is dan gelijk aan 3/8, immers er zijn 3 uitkomsten waarbij precies eenmaal kruis optreedt.
Een aanzienlijk ruimere kansdefinitie is gegeven door de Russische wiskundige A.N. Kolmogorov. Hij gaat uit van een uitkomstenruimte, Ω, en een bepaalde klasse van deelverzamelingen (gebeurtenissen) van Ω. Een functie gedefinieerd op de deelverzamelingen van een dergelijke klasse, met waarden tussen 0 en 1, en die verder voldoet aan bepaalde eisen (de axioma’s van Kolmogorov), is een kans. Twee gebeurtenissen A en B heten onafhankelijk als voor de kans P(AB) op het optreden van beide gebeurtenissen geldt: P(AB) = P(A).P(B) B.v. als A de gebeurtenis is dat een willekeurige kaart uit een spel van 52 kaarten een aas is; B is: de kaart is een harten. Dan is P(A) = 1/13, P(B) = 1/4, terwijl AB correspondeert met hartenaas, dus P(AB) = 1/52, A en B zijn dus onafhankelijk.
Indien P(B)>0, definieert men de voorwaardelijke kans op A, gegeven B als P(A|B) = P(AB)/P(B). Een reële functie x(ω) op Ω waarvoor {ω∊Ω|x(ω≦t)} steeds een gebeurtenis is, heet een stochastische veranderlijke (in Nederland is de notatie x in plaats van x(ω) zeer gebruikelijk. Twee stochastische veranderlijken x en y heten onafhankelijk als ieder tweetal gebeurtenissen gedefinieerd voor x resp. y onafhankelijk is. De verdelingsfunctie F(t) van x is per definitie P({ω|x(ω)≦t}), meestal afgekort tot P{ω≦t}.
Twee belangrijke speciale gevallen zijn de volgende:
1. Er is een hoogstens aftelbaar aantal waarden t1, t2, ... met P{x = t1} > 0; Σ P {x = t1) = 1. F is buiten zijn sprongpunten t1 tz, ... constant. Men spreekt van een discrete stochastische veranderlijke. De rij van paren (t1, P{x = t1}) noemt men de kansverdeling van x. Voorbeelden van dergelijke kansverdelingen zijn de binomiaalverdeling, de poissonverdeling en de hypergeometrische verdeling. Als er een functie f bestaat met F(t) = ∫t f(u)du, dan spreekt men van continue stochastische veranderlijke. De functie f noemt men de kansdichtheid (of kansverdeling) van x.
Als f(t) = (2π)½exp-½ t2 voor alle reële t, dan heeft x een standaard-normale verdeling. De bijbehorende verdelingsfunctie wordt vaak aangeduid met ↀ(t). Als f(t) = 1 voor 0 ≦ t ≦ 1, en f(t)
= 0 elders, dan is x homogeen verdeeld op het eenheidsinterval. Onder de simultane verdelingsfunctie van x en y verstaat men de functie F(t, u) = P{x ≦ t; y ≦ u}.
Twee belangrijke stellingen uit de waarschijnlijkheidsrekening zijn de wet van de grote aantallen en de centrale limietstelling. Een belangrijk toepassingsgebied van de waarschijnlijkheidsrekening is de wiskundige statistiek. [drs. F. Göbel]
LITT. W. Feller, An introduction to probability theory and its applications (1957); H. Freudenthal, Waarschijnlijkheid en statistiek (1962).
