Oosthoek Encyclopedie

Oosthoek's Uitgevers Mij. N.V (1916-1925)

Gepubliceerd op 31-01-2022

Topologie

betekenis & definitie

[Gr.], v., deel van de wiskunde dat gegroeid is uit meetkundige beschouwingen waarbij alleen intrinsieke eigenschappen van een figuur van belang zijn.

Globaal gesproken worden in de topologie die eigenschappen van figuren bestudeerd die behouden blijven bij verbuiging van de figuur zonder deze te scheuren (d.w.z. punten die dicht bij elkaar liggen, blijven na deformatie dicht bij elkaar) of te lijmen (d.w.z. punten die verschillend zijn, vallen ook na deformatie niet samen). Figuren die door een dergelijke zgn. topologische transformatie in elkaar kunnen overgaan, noemt men topologisch equivalent of homeomorf. Zo zijn bol, kubus en ei topologisch equivalent, maar bol en ring (torus) niet.

Exact geformuleerd is topologie de studie van eigenschappen van puntverzamelingen die invariant zijn bij één-eenduidige afbeeldingen die niet alleen zelf continu zijn, maar waarvan ook de inverse continu is. In de verzameling theoretische topologie (geïnitieerd door M.Fréchet) wordt het begrip omgeving axiomatisch vastgelegd evenals begrippen als open en gesloten verzameling, afstand, compact, dimensie enz. Zo kan men in het euclidische platte vlak voor ∈>0 de ∈-omgeving van het punt a definiëren als de verzameling van alle punten die tot a een afstand hebben die kleiner is dan ∈. Een topologische ruimte kan men definiëren als een puntverzameling waarin bij ieder punt een stelsel omgevingen behoort die aan zekere axioma’s voldoen. Men kan echter een topologische ruimte ook anders definiëren, b.v. door middel van - eveneens axiomatisch vastgelegde - open verzamelingen. Met behulp hiervan definieert men dan de andere topologische begrippen.

Zo heeft ook de definitie van het begrip ‘kromme’ plaats in de topologie. Een enkelvoudige, gesloten kromme (Jordan-kromme) is het topologische equivalent van een cirkel. Voor een Jordan-kromme geldt de belangrijke stelling dat zij het platte vlak in twee delen verdeelt.

Naast - maar vaak ook verweven met - de verzameling theoretische topologie kent men ook de combinatorische of algebraïsche topologie (geïnitieerd door G.W.Leibniz, gefundeerd door J.H. Poincaré en ontwikkeld door o.a. L.E.J.Brouwer). Hierin tracht men aan topologische ruimten zgn. topologische invarianten toe te voegen (meestal getallen of groepen) en wel zó dat topologisch equivalente ruimten gekarakteriseerd worden door een stel invarianten die zij en slechts zij gemeen hebben. Een voorbeeld van zo’n invariant is voor een veelvlak de grootheid h - r + z, waarin h, r en z resp. zijn het aantal hoekpunten, ribben en zijvlakken. Voor een op een bol getekend veelvlak is deze grootheid 2 (Euler, 1750), voor een op een torus getekend veelvlak heeft h r + z echter de waarde nul. De grondgedachte van de combinatorische topologie is dat men de topologische ruimte door middel van ‘triangulatie’ opgebouwd denkt uit hoekpunten, ribben, driehoeken, viervlakken en hun analogons in hogere dimensies.

Deze elementen noemt men simplices. Zo is een O-dimensionaal simplex een punt, een 1-dimensionaal simplex een lijnstuk, een 2-dimensionaal simplex een driehoek enz. Door geschikte identificatie van randen kan men de topologische ruimten beschrijven. Zo stelt afb.1 een viervlak voor indien men gelijk benoemde hoekpunten en lijnstukken identificeert maar ook stelt dit netwerk een bol of een ei voor. De studie van de topologie heeft geleid tot de ontdekking van oppervlakken waaraan geen binnen- en buitenkant zijn te onderscheiden, de zgn. niet oriënteerbare oppervlakken (b.v. Möbius, band van). Andere topologische problemen zijn b.v. het Koningsberger probleem en het in 1976 opgeloste vierkleurenprobleem.

De topologie vindt vele toepassingen o.a. in de analyse, zoals belangrijke dekpuntstellingen, b.v. de door Brouwer bewezen stelling dat een continue afbeelding van een cirkelschijf (inclusief de rand) in zichzelf altijd één punt invariant laat. Men kan ook andere structuren dan louter puntverzamelingen, zoals verzamelingen waarin operaties zijn gedefinieerd, zoals groepen en ringen, voorzien van een topologische structuur. Dit geeft aanleiding tot de theorie van de topologische groepen en ringen, [dr.A.W.Grootendorst]

LITT. M.J.Mansfield, Introduction to topology (1962); L.Pontrjagin, Topological groups (1966); W.G.Chinn en N.E.Steenrod (bewerkt door J.v. Dormolen), Eenvoudige topologie (1971).