een zuiver formele logica, waarin de verschillende redeneervormen worden weergegeven in een logisch artificiële taal, met behulp van exact gedefinieerde symbolen, die een mathematische indruk maken. Deze moderne logica is een schepping van Russell en Whitehead (1910), die hiermee aanknoopten bij de arbeid van Leibniz, Frege en Peano. →logica.
Enkele van de belangrijkste onderdelen zijn: de propositielogica, de predikatenlogica, de meerwaardige logica, de modale logica, de deontische logica.
PROPOSITIELOGICA. Het samenvoegen van een aantal enkelvoudige beweringen tot een samengestelde bewering geschiedt door het aanbrengen van logische verbindingen met behulp van voegwoorden zoals ‘en’, ‘of’, ‘als ... dan’ enz. Een zodanig samengestelde bewering heet een propositie. Wanneer men twee beweringen voorstelt door p en q, dan stelt men de ontkenning (negatie) van presp. van q voor door _,p resp. _,q. Soms ook aangegeven door -p of ~p. Men kan nu de navolgende begrippen definiëren.
1.De conjunctie: en; van p en q geldt dat p en q beide waar zijn; notatie pAq. Of: p&q, p.q.
2.De disjunctie: of; van p en q geldt dat of p of q of beide waar zijn; notatie pVq.
3.De disjunctie met uitsluiting van de conjunctie: of ... of (óf-exclusief); van p en q geldt dat óf p óf q waar is; notatie pΔq.
4.De implicatie: als ... dan; van p en q geldt: als p waar is, dan is q ook waar; notatie p=→q. Of: p →q-
5.De equivalentie: dan en slechts dan; van p en q geldt dat p dan en slechts dan waar is als q waar is; anders gezegd: als p waar is, dan is ook q waar, en omgekeerd; notatie p«=→q, de samenvoeging van p=*q en q=→p. Of ook aangegeven: p↔?±q.
6.De verwerping: noch ... noch; van p en q geldt dat noch p noch q waar is; notatie p/q, dus p/q ↔(p v q).
Deze proposities kan men voorstellen door middel van zgn. waarheidstabellen (matrices). Hierbij wordt het waar-zijn van een bewering aangeduid door het symbool 1 en het onwaar-zijn door het symbool 0. Met behulp van de waarheidstabellen kan men nagaan of bepaalde beweringen logische theorema’s (wetten) zijn. Voor het hanteren van deze methode moet hier naar de handboeken voor de symbolische logica verwezen worden. In plaats van met waarheidstabellen kan men zijn logisch systeem ook opbouwen met behulp van →axioma’s en deductieregels. Zelfs kan men zijn systeem opbouwen op uitsluitend deductieregels. PREDIKATENLOGICA (kwantificatielogica).
Met behulp van de propositielogica kan men de kwantiteit van het oordeel niet uitdrukken. Men zou daartoe de proposities kunnen kwantificeren. In het algemeen past men echter de volgende methode toe, waarbij ook de overeenkomst met de aristotelische logica duidelijker is. Voor de predikaten neemt men ook weer symbolische tekens: f, g, h, f1, f2 enz. Degenen aan wie deze predikaten worden toegekend, worden weergegeven door x, y, z enz. wanneer zij een variabele zijn (dit is ‘wanner zij onbekend zijn’) of door een parameter (a, b, c) wanneer zij een concreet individu zijn. De uitdrukking ‘(fx)’ geeft dan weer: ‘x is f’.
Men kan deze uitdrukkingen nu kwantificeren, d.w.z. aangeven of de uitdrukking voor alle x’en of slechts voor enkele geldt, ‘(x) (fx)’ betekent nu: ‘alle x’en zijn f’ en ‘(Ex) (fx)’ betekent nu: ‘er is tenminste één x, die f is’. Een uitdrukking als ‘alle mensen zijn sterfelijk’ wordt dan meestal weergegeven door ‘(x) {(fx) —* (gx)}’. Hierin is f = mens en g = sterfelijk. Men leze dit als volgt: ‘Voor alle x’en geldt: is x een mens, dan is x sterfelijk’ of in beter Nederlands: ‘Voor alles geldt: is het een mens, dan is het sterfelijk’.
Het verschil met de aristotelische logica is duidelijk. De universele oordelen (→kwantiteit) worden als hypothetische oordelen opgevat (als ..., dan ...), terwijl verder het taalkundig subject (dat een substantief kan zijn) op de predikaatsplaats wordt gezet. De moderne logica heeft aldus veel bijgedragen tot de ontsubstantivering van de filosofie. ‘Sommige mensen zijn geleerd’ wordt dan uitgedrukt door ‘(Ex) {(fx).(gx) }’. Hierin is f = mens, g = geleerd. Aangezien de zgn. existentiële quantor (Ex) tegelijk aangeeft dat het predikaat en zijn toekenning ook in de werkelijkheid voorkomen, kan men dit oordeel niet in de vorm van een hypothetisch oordeel weergeven, maar gebruikt men de conjunctie. Ook de predikatenlogica kan men in een logisch systeem met axioma’s en deductieregels brengen.
De waarheidstafels laten zich hierop niet toepassen. In plaats van (x)(fx) wordt ook wel als symboliek (Vx)(fx) gebruikt en in plaats van (Ex)(fx) wel (3x)(fx). →quantor.
MEERWAARDIGE LOGICA. De propositieen de predikatenlogica gaan uit van de veronderstelling dat er slechts twee waarheidswaarden kunnen worden toegekend: 1 (waar) en 0 (onwaar). In de systemen met meerwaardige logica kent men diverse waarden, waarbij de interpretatie verschillend kan zijn, b.v. 1 (waar), \ (mogelijk), 0 (onwaar); of: 1 (noodzakelijk), j (waarschijnlijk), |-(mogelijk), { (mogelijk, maar onwaarschijnlijk), 0 (onmogelijk). Ook in de meerwaardige logica kunnen de logische verbindingen als implicatie, conjunctie enz. exact worden gedefinieerd.
MODALE LOGICA. Aristoteles kende de logica van modale woorden als ‘noodzakelijk’, ‘mogelijk’, ‘contingent’ enz. Men kan deze beschouwen als kwalificaties van de proposities, en als volgt symboliseren: Lp (p is noodzakelijk), Mp (p is mogelijk), Kp (p is contingent). Neemt men een van deze →modaliteiten als primitief (ongedefinieerd) begrip, dan kan men de andere als volgt definiëren. Men neme ‘mogelijk’ als primitief begrip en men hantere het minteken als symbool voor de negatie; ‘ = Df’ wil zeggen: ‘wordt als volgt gedefinieerd’. Lp = Df M p Kp = Df (Mp).(M p).
Als p noodzakelijk is, wordt deze noodzakelijkheid gedefinieerd als: ‘de ontkenning van p is niet mogelijk’; als p contingent is, wordt dat gedefinieerd als: ‘zowel p als de ontkenning van p zijn mogelijk’. Men kan echter Lp enz. ook anders interpreteren. De bovenstaande interpretatie is dan de modaallogische interpretatie in engere zin.
Er zijn zo verschillende modaallogische systemen in ruimere zin ontworpen (ook wel systemen van gekwalificeerde logica genoemd). Hiermee kunnen enkele aanvullingen op de gewone propositieen predikatenlogica worden gegeven. Bij de laatste moet men nl. steeds vooronderstellen dat in de loop van de redenering de tijd en het gezichtspunt constant blijven. De systemen van modale logica geven de mogelijkheid in één systeem vanuit meer gezichtspunten en meer tijdstippen te spreken. Men kan eventueel ook Lp interpreteren als ‘p is altijd waar’ en Kp als ‘p is zo nu en dan waar’. De modale logica geeft zo ook de mogelijkheid tot een kwantificatie van de propositielogica, met de mogelijkheid de waarheidsmatrices toe te passen. In combinatie met de meerwaardige logica geeft de modale logica de mogelijkheid tot het construeren van →artificiële talen en tot uitdrukkingsmogelijkheden waarvoor natuurlijke talen tekortschieten, terwijl tevens de mogelijkheid wordt geconstrueerd redeneervormen te toetsen, waarbij de natuurlijke talen gauw verwarrend werken.
DEONTISCHE LOGICA. Dit is de logica van de verplichtingen of bevelen. Het interessante hierbij is, dat hetzelfde definitiesysteem als in de modale logica kan worden gebruikt, wanneer men alleen maar een andere interpretatie van de symbolen geeft: Lp = p is verplicht; L-p = p is verboden; Mp = p is geoorloofd; Kp = p is noch verplicht, noch verboden; Wp = p is gewenst enz. Meestal voert men in de deontische logica aparte symbolen in: Op, Pp enz. Zo worden de voordelen van de symbolische kunsttalen duidelijk: zij geven de mogelijkheid tot exacter definiëren; zij kunnen op verschillende wijzen worden gebruikt; zij geven de mogelijkheid tot exacter redeneren (= het trekken van conclusies uit gegeven vooronderstellingen).
Het formele karakter van de (symbolische) logica geeft echter ook haar beperkingen aan. Haar universele toepasbaarheid maakt, dat zij nooit over de waarheid of onwaarheid van een uitspraak een beslissing kan geven. Zij kan slechts uitmaken of vanuit de gegeven vooronderstellingen de juiste conclusies worden getrokken. TOEPASSINGEN. Wat de symbolische logica betreft, is uit het bovenstaande duidelijk geworden, dat deze kan worden gebruikt voor het ontwerpen van allerlei artificiële talen, die in de wetenschappen en de filosofie kunnen worden gebruikt. Deze logica heeft verder toepassingen gevonden bij het partieel axiomatiseren van de fysische tijd-ruimteleer (→Reichenbach, →-Carnap), in de biologie (Woodger), rechtswetenschap (Weinberger, Von Wright), economie (Neumann), de taalwetenschap enz.
De belangrijkste velden van toepassing zijn echter het grondslagenonderzoek van de wiskunde en de filosofie. Bovendien vormt de symbolische logica de grondslag van de computerwetenschappen.
Wat de filosofie betreft, zijn o.a. de volgende belangrijke thesen met behulp van de symbolische logica bewezen:
1. het exacte bewijs kan geleverd worden, dat uit pure feiten alleen geen geboden, waarden of normen kunnen worden afgeleid, en omgekeerd, dat uit waarden geen feiten zijn af te leiden;
2. het exacte bewijs kan geleverd worden dat ook over het ‘Ding an sich’ (I.→-Kant) in logische relaties kan worden gesproken, omdat deze ook voor de noumenale wereld (de wereld van dit ‘Ding an sich’) opgaan;
3. men kan exact de kracht en de zwakte van de godsbewijzen aangeven. [prof.dr.H. G.Hubbeling].
LITT. E.W.Beth, Geschiedenis der logica (1944);I.M.Bochenski en A.Menne, Grundriss der Logistik (1954); R.Carnap, Introduction to symbolic logic and its applications (1958); H.Freudenthal, Exacte logica (1961); I.M.Bochenski, Formale Logik (1962); W.Kneale en M.Kneale, The development of logic (1962); E.W.Beth, Moderne logica (1967); H.G.Hubbeling, Language, logic and criterion (1971); A.Rose, Computer logic (1971); H.de Swart en H.G.Hubbeling, Inleiding in de symbolische logica (1976); C.J.Lewis en C.H.Langford, Symbolic logic (z.j.); E.R.Emmet, Logisch denken (11e dr. 1978).
