Oosthoek Encyclopedie

De Oosthoek is een Nederlandse encyclopedie die in verschillende uitvoeringen is verschenen

Gepubliceerd op 17-06-2020

reeks

betekenis & definitie

v./m. (-en),

1. aaneenschakeling, rij, keten: een — bomen, huizen, bergen; serie: de loterij is in vijf reeksen verdeeld; 2. rij van in orde staande dingen, volgorde: een lange — van jaren;
3. rij getallen, onderling op dezelfde wijze verschillend (e).

(e) WISKUNDE. Beschouwt men bij de rij getallen {an} (d.w.z. de termen a1, a2, a3, ... an waarin de index n het rangnummer aangeeft) de rij {sn} van de partiële sommen, d.w.z. s1 = a1; s2 = a1 + a2;

... sn = a1 + a2 + ... + an (notatie: sn = Σkn=1 ak), dan noemt men de rij {sn} de rij {an} behorende reeks. Voorbeelden:

1. De rekenkundige reeks van de 1e orde is een getallenrij {an} met de eigenschap dat alle verschillen a2 a1, a3 — a2, a4 — a3 enz. constant zijn. Noemt men dit verschil v en de eerste term t1 = a, dan is tn = a + (n 1) v en sn = ½n (a + tn). B.v. de rij 1, 3, 5, 7, ...; t1 = 1, v = 2, dus tn = 2n 1 en sn = n2.
2. De rekenkundige reeks van de 2e orde is een getallenrij {an} met de eigenschap dat de verschillen a2

a1, a3 — a2, a4 — a3 enz. een rekenkundige reeks van de 1e orde vormen. B. v. de rij van de kwadraten van de natuurlijke getallen 1, 4, 9, 16, 25, ... Dit is een rekenkundige reeks van de 2e orde omdat de rij van de eerste verschillen 3, 5, 7, 9,1 1, 13 enz. een rekenkundige reeks van de 1e orde met verschil 2 is. De rij van de derde machten 1, 8, 27, 64, 125, 216 enz. is een rekenkundige reeks van de 3e orde; de rij van de eerste verschillen 7,19, 37, 61, 91 enz. is een rekenkundige reeks van de 2e orde; de rij van de tweede verschillen 12, 18, 24, 30 enz. is een rekenkundige reeks van de 1e orde. Bij de rekenkundige reeks van hogere orde kan men evenals bij die van de 1e orde formules voor tn en voor sn afleiden.

3. De meetkundige reeks is een getallenrij {an} met de eigenschap dat de quotiënten a2/a1 → a3/a2 enz. constant zijn. Noemt men dit quotiënt, de reden, r en de eerste term t1 = a, dan is tn = arn-1 en sn = a(rn l)/(r — 1). B.v. de rij 1, 3, 9, 27, 81 enz.; t1 = 1, r = 3, dus tn = 3n1 en sn = ½(3n 1).

De benaming reeks wordt m.n. in de hogere wiskunde vrijwel uitsluitend gebruikt voor een oneindige reeks. Indien de rij {sn} een limiet S heeft, d.w.z. indien limn→∞ sn = S bestaat, zegt men dat de reeks Σ∞n=1 an convergeert en spreekt men van een convergente reeks; in dat geval zegt men wel dat de reeks sommeerbaar is met som S, hoewel S een limiet is en geen som. Indien de rij {sn} geen limiet heeft, zegt men dat de reeks divergeert en men spreekt van een divergente reeks. Voorbeelden:

1. De reeks Σ∞n=1 ½n = ½ + ¼ + ⅛ + … convergeert, want sn = 1 (½)n dus limn→∞ sn bestaat en = 1.
2. De meetkundige reeks Σ∞n=0 arn = a + ar + ar2 + ar3 + … convergeert indien | r | < 1 is en S = a/1 r.
3. De reeks Σ∞n=1 1/n(n 1) = 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + … 1/n(n+1) + convergeert, want sn = 1 1/n+1, dus limn→∞ S = 1.
4. De machtreeks Σ∞n=0 anxn = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … Indien deze reeks convergeert voor x = m dan convergeert de reeks voor iedere waarde van x waarvoor geldt | x | < | m | .
5. De reeks Σ∞n=1 n = 1 + 2 + 3+ ... divergeert, want sn = ½ n(n + 1), dus sn → ∞ voor n → ∞.
6. De reeks Σ∞n=1 ( ! )n + 1 = 1 1 + 1 1 + 1 1 + ... divergeert, want s2n = 0 en s2n + 1 = 1, dus limn→∞ sn bestaat niet.

Indien Σ∞n=1 an een reeks met zowel positieve als negatieve termen is dan heet de reeks absoluut convergent, resp. absoluut divergent indien de reeks Σ∞n=1 | an | van de absolute waarde van de termen convergeert, resp. divergeert. Men kan bewijzen dat een absoluut convergente reeks tevens convergent is. Een convergente reeks die absoluut divergent is noemt men relatief convergent.