tak van de meetkunde waarin de eigenschappen van de figuren worden onderzocht die bij herhaalde centrale projectie behouden blijven. Neemt men op een lijn (drager) l een puntenreeks P, Q, R, ..., notatie: l (P, Q, R, ...,) aan en verbindt men deze punten met een buiten l gelegen punt O dan vormen de dragers p, q, r, ..., van de lijnstukken resp.OP, OQ, OR,..., een zgn. stralenbundel of waaier met centrum O, notatie: bundel O (p, q, r, ...).
De grondbegrippen van de projectieve meetkunde zijn perspectiviteit en projectiviteit. De stralenbundel O (p, q, r, ...,) heet perspectief met de puntenreeks / (P, Q, R, ...). Snijdt men deze stralenbundel door een lijn V dan ontstaat de puntenreekst l' (P', Q', R',...,) die weer perspectief is met de bundel O (p, q, r, ...); deze puntenreeks heet tevens perspectief met de puntenreeks / (P, Q, R, ...,). Projecteert men de reeks l' (P', Q', R', ...,) centraal uit een nieuw centrum O' dan is de stralenbundel O' (p', q', r', ...,) perspectief met de reeks /' (P', Q', R',...,), en deze stralenbundel heet tevens perspectief met de bundel O (p, q, r, Hieruit volgt: twee puntenreeksen zijn perspectief indien de verbindingslijnen van de overeenkomstige punten door één punt, het perspectiviteitscentrum, gaan; twee stralenbundels zijn perspectief indien de snijpunten van de overeenkomstige stralen op één lijn, de perspectiviteitsas, liggen. De punten van twee perspectieve reeksen zijn één aan één aan elkaar toegevoegd, waarbij het snijpunt S = S' van de twee dragers l en l' aan zichzelf is toegevoegd. Zo zijn ook de stralen van twee perspectieve bundels één aan één aan elkaar toegevoegd, waarbij de verbindingslijn s = s' van de twee centra O en O' aan zichzelf is toegevoegd.
Snijdt men nu twee perspectieve stralenbundels elk door een lijn (afb.2) dan ontstaan twee nieuwe puntenreeksen, die weer één aan één aan elkaar zijn toegevoegd, zonder echter in het algemeen perspectief te zijn. Deze reeksen heten projectief; het verband tussen de reeksen heet projectieve verwantschap (projectiviteit), en de bewerking die deze verwantschap voortbrengt heet projectieve transformatie. Hieruit volgt dat twee puntenreeksen projectief zijn als de punten van deze reeksen één aan één aan elkaar zijn toegevoegd. Projecteert men twee perspectieve of projectieve reeksen, elk uit een afzonderlijk centrum dan ontstaan twee stralenbundels die ook één aan één aan elkaar zijn toegevoegd, zonder in het algemeen perspectief te zijn. Deze stralenbundels heten tevens projectief. De projectiviteit blijft behouden indien een reeks uit een punt wordt geprojecteerd in een stralenbundel, en ook indien een stralenbundel door een drager wordt gesneden in een puntenreeks.Beschouwt men twee viertallen van aan elkaar toegevoegde punten ABCD en A'B'C'D' dan is een dubbelverhouding (ABCD) = (AC/BC): (AD/BD) gelijk aan de dubbelverhouding (A'B'C'D') = (A'C'/B'C'): (A'D'/B'D'). De dubbelverhouding van vier punten is dus een grootheid die invariant is bij projectieve transformatie. Bepaalt men de ligging van de punten door hun abscissen x resp. x', gemeten vanaf een op elk van de dragers aangenomen nulpunt, dan zijn de waarden van x en x' één aan één aan elkaar toegevoegd. De betrekking tussen x en x' is dan de vorm axx' + bx + cx' + d = 0; d.i. een bilineaire vergelijking, x en x' volgen dus uit elkaar door een lineaire substitutie. Een projectieve verwantschap (homografie) tussen twee puntenreeksen is vastgelegd als men drie puntenparen AA', BB' en CC' aan elkaar heeft toegevoegd. Van elk vierde punt X is nu het toegevoegde punt X' bepaald door de voorwaarde (ABCX) = (A'B'C'X').
Eigenschappen van figuren die invariant zijn bij projectieve transformatie heten projectieve eigenschappen; b.v. dat een lijn verbindingslijn is van twee punten; dat een punt het snijpunt is van twee lijnen, ook de dubbelverhouding van vier punten op een lijn. Niet projectief zijn b.v. de grootte van een hoek, de lengte van een lijnstuk, de verhouding van twee lijnstukken van een zelfde lijn. Twee belangrijke stellingen van de projectieve meetkunde zijn:
1. De snijpunten van de corresponderende stralen van twee projectieve, niet perspectivische, stralenbundels vormen een kegelsnede.
2. De verbindingslijnen van de corresponderende punten van twee projectieve niet perspectivische, puntenreeksen omhullen een kegelsnede. Men kan de punten resp. de lijnen van twee vlakken door centrale projectie aan elkaar toevoegen; na herhaalde projectie ontstaat steeds een projectieve verwantschap, waarbij een lijn van het ene vlak correspondeert met een lijn uit het andere vlak, ook een kegelsnede met een kegelsnede, in het algemeen een kromme van de ne graad met een kromme van de ne graad. Deze projectieve transformatie heet collineatie. Een collineatie tussen twee vlakken wordt bepaald door vier paren toegevoegde punten. Tot de collineatie behoren als bijzonder geval de bewegingstransformaties. Door de collineatie correspondeert een bepaalde lijn van het ene vlak met de oneindig verre lijn van het andere vlak. Op deze wijze kan men de oneindig verre lijn door een projectieve transformatie ‘in het eindige brengen’. Men kan ook twee puntenreeksen op een zelfde drager resp. twee stralenbundels met een zelfde centrum projectief aan elkaar toevoegen (collocale ofconjectieve reeksen resp. bundels). Er zijn dan twee dubbelelementen, dit zijn elementen die aan zichzelf zijn toegevoegd. Zijn twee collocale projectieve reeksen zo dat een punt P met een zelfde punt P' correspondeert, tot welk van de twee reeksen het ook behoort dan heet deze projectieve verwantschap een involutie. Evenzo kunnen twee projectieve vlakken samenvallen. Een soortgelijke theorie kan ook voor de ruimte opgesteld worden.
LITT. A.Heyring, Projectieve meetkunde (1963).
