in de numerieke analyse een berekeningsmethode, waarbij een bepaalde grootheid wordt berekend door herhaald toepassen van een zelfde, veelal eenvoudige formule. Zij onderscheidt zich van approximatiemethoden, waarbij grootheden worden berekend door eenmalig toepassen van een meestal betrekkelijk gecompliceerde formule.
Iteratieve methoden worden veel toegepast bij het oplossen van een vergelijking of van een stelsel vergelijkingen. De vergelijking (of het stelsel) wordt dan geschreven in de vorm x = f(x). Uitgaande van een beginschatting x0 wordt dan een nieuwe schatting berekend uit de formule xn + 1 = f(xn), n = 0, 1, 2,. Het proces moet convergeren, terwijl in een algoritme ook zal moeten worden aangegeven wanneer gestopt kan worden, dus wanneer de schatting voldoende nauwkeurig is. Van belang is tevens de convergentiesnelheid. Wanneer x de oplossing aangeeft (dus x = f(x)), dan spreken we van convergentie van de orde p als | xn+1 — x ≦ C | xn x I p, waarbij C niet van n afhangt.
Als p = 1 hebben we lineaire convergentie, als p = 2 kwadratische convergentie. Een hogere waarde van p is veelal alleen bereikbaar ten koste van een meer gecompliceerde functie f, zodat het voordeel van de hogere convergentiesnelheid (gedeeltelijk) verloren gaat. Iteratieve methoden zijn bijzonder geschikt voor een computer omdat zij eenvoudig programmeerbaar zijn. Voorbeelden:1.De ‘regula falsi’ voor het oplossen van een vergelijking met één onbekende, die lineair convergent is; hierbij vindt herhaalde lineaire interpolatie plaats. Bij een convexe functie g(x), waarvan een nulpunt gevonden moet worden (g(x) = 0) krijgen we als iteratieve formule:
xn +1= ag(xn) xn g(a)/g(xn-g(a) a en x0 zijn beginschattingen, terwijl g(a) g(x0) < 0.
De methode van Newton-Raphson, voor het oplossen van een vergelijking met één onbekende, die kwadratisch convergent is. Deze gebruikt de formule:
xn+1 =xng(xn) / g(xn).
B.v. de wortelformule
xn+1 = 1/2(xn + a/xn), waarmee √a berekend kan worden; hierbij geldt: g(x) = x2 — a en a >0.
De methode van Newton-Raphson heeft het voordeel van de hogere convergentiesnelheid doch het nadeel dat de afgeleide berekend moet worden (waarvoor soms numerieke differentiatie nodig is). Door deze afgeleide te vervangen door de benadering g(xn)-g(xn-1)/xn-xn-1 krijgt men de zgn. koorden-Newton:
xn+1 = xn-1g(xn)-xn-1g(xn-1)/g(xn)-g(xn-1)
De convergentiesnelheid ligt tussen die van de regula falsi en Newton-Raphson.
