Oosthoek Encyclopedie

Oosthoek's Uitgevers Mij. N.V (1916-1925)

Gepubliceerd op 27-06-2020

invariantentheorie

betekenis & definitie

v., (wiskunde) theorie omtrent grootheden die door een groep bewerkingen onveranderd blijven (invarianten).

(e) Invarianten zijn algebraïsche uitdrukkingen, meetkundige figuren of andere grootheden die door een →groep van bewerkingen onveranderd blijven. Rechte lijnen blijven rechte lijnen bij alle verschuivingen in de ruimte; alle draaiingen van een plat vlak om de oorsprong 0 van een cartesisch coördinatenstelsel xOy laten de uitdrukking x2 + y2 onveranderd.

De invariantentheorie bestudeert bij iedere groep de invarianten. Zo is de projectieve meetkunde de invariantentheorie van de projectieve groep, dat zijn al die transformaties in de ruimte, die punten in punten, rechte lijnen in rechte lijnen en vlakken in vlakken overvoeren. Drukt men zulke transformaties algebraïsch uit, dan wordt men zodoende tot een algebra van invarianten gevoerd, die vaak kortweg invariantentheorie wordt genoemd. B.v. de groep gegeven door lineaire transformaties van x en y: x = ax1 + by1 y = cx1 + dy1 waarbij a, b, c, d constanten zijn die voldoen aan ad — bc =1.

Nu kan men een kwadratische vorm Px2 + 2Qxy + Ry2, met P, Q, R constanten, aan deze substitutie van x en y onderwerpen. Dan krijgt men een nieuwe uitdrukking in X1 en y1 P1x12 + 2Qixiy1 + R1y12, waar P1 = Pa2 + 2Qac + Rc2, Q1= Pab + Q(ad + bc) + Rcd en R1 = Pb2 + 2Qbd + Rd2. Een invariante van de kwadratische vorm is nu elke uitdrukking in P, Q, R, die niet verandert als men P,Q, R in P1 Q1 R1 i verandert. In dit geval is dit PR Q2, want P1R1 Q12 = PR Q2.