Katholieke Encyclopaedie

Uitgeverij Joost van den Vondel (1933-1939)

Gepubliceerd op 18-09-2019

Kromme

betekenis & definitie

In de wiskunde noemt men een → lijn of lijnstuk AB, dat niet recht of gebroken is, een kromme lijn of kortweg kromme. Liggen alle punten van de k. in één plat vlak, dan heeft men een vlakke k., anders een ruimtekromme. Een vlakke kromme is de verzameling van de punten, wier rechthoekige coördinaten x en y voldoen aan een vergelijking, welke niet van den eersten graad in x en y is, bijv. x2+y2—4 = 0 (cirkel), y2—6x = 0 (parabool).

Is het linkerlid van de op nul herleide vergelijking een algebraïsche veelterm, dan heet de k. algebraïsch, anders transcendent (bijv. de cycloïde). De graad van den veelterm is ook de graad van de k.; zoo zijn cirkel en parabool k. van den tweeden graad. Dat een vlakke k. van den n-den graad is, wil zeggen, dat elke rechte in het vlak der k. n punten met de k. gemeen heeft; imaginaire snijpunten worden eventueel meegerekend en een raaklijn heeft in haar raakpunt twee (samenvallende) punten met de k. gemeen.

De klasse van een vlakke k. is het standvastig aantal raaklijnen, die door een willekeurig punt van het vlak der k. gaan; hierbij gelden dgl. afspraken als boven.Vallen het beginpunt A en het eindpunt B van de k. samen, dan heet ze gesloten (fig. 1 en 2). Liggen op de k. geen punten, waar de k. meer dan eenmaal door gaat, behalve dan bij een gesloten k. het samenvallende begin- en eindpunt, dan is het een enkelvoudige k., ook wel genoemd k. van Jordan (fig. 2 en 3). Een enkelvoudige, niet gesloten k. heet open (fig. 3). Van groot belang is de stelling van Jordan: iedere enkelvoudige, gesloten k., gelegen in een plat vlak, bepaalt in dat vlak twee gebieden, een inwendig en een uitwendig gebied, zoodat iedere lijn, die een punt P van het inwendige gebied verbindt met een punt Q van het uitwendige gebied, minstens één punt met de k. gemeen heeft (fig. 2).

Een ruimtekromme is de doorsnede van twee oppervlakken of een zelfstandig deel van zoo’n doorsnede. Een ruimtekromme, die een volledige doorsnede is van twee oppervlakken, is de verzameling van de punten, wier rechthoekige coördinaten x, y en z voldoen aan twee vergelijkingen, die geen van beide van den eersten graad in x, y en z zijn. Onder graad, klasse en rang van een algebraïsche ruimtekromme verstaat men resp. het aantal snijpunten van de k. met een willekeurig plat vlak (dat niet een deel van de eventueel ontaarde k. bevat), het aantal osculatievlakken van de k., die door een willekeurig punt der ruimte gaan en het aantal raaklijnen van de k., die een willekeurige rechte snijden.

Een vlakke k. of ruimtekromme heet rectificeerbaar, indien men (op een hier niet nader aan te geven wijze) een getal kan bepalen, dat men de lengte der kromme noemt.

v. Kol/T. Ridder.

Lit.: C. Jordan, Cours d’analyse (31909); → Analytische meetkunde; → Beschrijvende meetkunde.