Imaginair - (wisk.), eigenl. denkbeeldig, in ’t bijzonder gebruikt van getallen. Om de vierkantsworteltrekking uit een getal altijd mogelijk te maken, ook dan wanneer het getal negatief is, heeft men een nieuw soort „imaginaire” getallen ingevoerd, wier kwadraat bij definitie negatief is en die dus geen plaats vinden te midden van de gewone werkelijke, reëele getallen. Zulk een imaginair getal is bijv. / — 4; door ontbinding van het negatieve getal — a in de factoren — 1 en het positieve getal a kan men elk imaginair getal 1/ — o schrijven als f/ — 1 . |/ a (waarbij 1/ a als wortel uit een positief getal reëel is), dus als reëel veelvoud van — 1. Het imaginaire getal \/ — 1 heet de imaginaire eenheid en wordt in den regel aangeduid met i, zoodat i = j/ — 1. Alle imaginaire getallen zijn dus van den vorm 6 i (6 reëel). — Een vierkantsvergelijking is niet altijd oplosbaar, als men in ’t gebied der reëele getallen wil blijven. Wil men de oplossing van de vierkantsvergelijking forceeren, dan moet men aan ’t gebied der reëele getallen niet-reëele getallen toevoegen en wel van de gedaante c = a + bi, waarbij a en b reëel zijn.
Zulk een getal c, dat verschijnt als som van een reëel en een imaginair getal, heet complex getal (ook wel imaginair getal, in welk geval de getallen van den vorm bi zuiver imaginair heeten). Zoo levert de vierkantsvergelijking x2 — 2x + 2=0 de wortels 1+lX — lenl — ]/ — 1, dus 1 + i en 1 — i, en i! — 4 x + 9 = 0 de wortels 2 + i 1/ 5 en 2—i 5. Twee complexe getallen, waarvan de reëele deelen gelijk en de imaginaire deelen tegengesteld zijn, dus a + ib en o — ib, heeten toegevoegd complex (geconjugeerd complex). Een vierkantsvergelijking, waarvan de coëfficiënten reëel zijn, levert steeds twee toegevoegd complexe wortels.
Men kan ook nog meer imaginaire eenheden bedenken en invoeren (zie hoogere complexe getallen), maar wanneer men op de getallen, die men dan krijgt, de bewerkingen der rekenkunde wil toepassen, blijken deze niet meer de gewone eigenschappen te hebben. In ’t bijzonder gaat al dadelijk verloren de commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging, n.L, dat p x q = q x p. De eenige niet-reëele getallen, waarmee men dezelfde bewerkingen kan uitvoeren als met de reëele getallen, zijn de complexe getallen a + ib in bovengenoemden zin.
Door het gebied der reëele getallen uit te breiden tot dat der complexe getallen, worden in eens alle stellingen der algebra en der hoogere analyse algemeen. Bijv.: elke vergelijking van den nen graad heeft n wortels. In ’t bijzonder krijgt de functientheorie bijzonder belang, wanneer men de veranderlijke alle complexe waarden laat doorloopen.
Men kan de theorie der complexe getallen als men wil beschouwen als de theorie der getallenparen a, b, waarbij de bewerkingen op bepaalde wijze worden gedefinieerd: bijv. (et, b) + (p, q) = (a + p,b + q) , (a, b) x (p, g) = = (a p— b q, a q + b p). Deze definities moeten natuurlijk zoo gekozen zijn, dat de bewerkingen ondubbelzinnig zijn en het groepkarakter hebben. In verband hiermee kan men de complexe getallen ook meetkundig interpreteeren, bijv. het complexe getal a + ib door een lijn, in ’t platte vlak waarvan de horizontale projectie a en de vertikale projectie b is, of door een verschuiving, waarvan de horizontale en vertikale componenten resp. a en b zijn; in ’t bijzonder ook door een punt P welks rechthoekige coördinaten a en b zijn (eigenlijk de lijn OP, die P met het nulpunt O verbindt, en die a en b tot projecties heeft). Imaginaire punten, lijnen en vlakken noemt men in de analytische meetkunde punten, lijnen en vlakken met imaginaire (eigenlijk complexe) coördinaten of vergelijkingen. Men voert ze in om de regels te bevrijden van uitzonderingen. Bijv.: elke cirkel heeft met elke rechte lijn 2 punten gemeen; ligt de lijn buiten den cirkel, dan zijn die punten imaginair. Bijv.: de cirkel om den oorsprong als middelpunt met straal 2 snijdt een lijn evenwijdig aan de y-as op afstand 3 in 2 punten, waarvoor x = 3 en y = + i |/ 6 en —i ]/ 5 is; door elk punt van ’t vlak gaan twee raaklijnen aan eiken cirkel; ligt het punt binnen den cirkel, dan zijn die raaklijnen imaginair; een cirkel, waarvan de vergelijking luidt x2 + y2 — 1 = ü, is reëel; een cirkel daarentegen met de vergelijking x2 + y2 + 1 = 0 bevat geen reëele punten, is een imaginaire cirkel.
Imaginaire as van een hyperbool: (reëele) symmetrie-as, die de hyperbool niet reëel (in imaginaire punten) snijdt.
Imaginaire meetkunde, naam door Lobatschewsky gegeven aan de door hem uitgevonden hyperbolische niet-Euclidische meetkunde.
Imaginaire van Galois: wanneer er geen geheel getal x is, welks kwadraat na deeling door het ondeelbare getal p de rest r geeft, m. a. w. wanneer door geen enkel getal voldaan kan worden aan x2 = r (mod. p), voert men in navolging van Galois een denkbeeldig getal s in, waarvoor toch geldt e2 = r (mod. p)\ door invoering van deze getallen, die ,,imaginairen van Galois” heeten, krijgen alle kwadratische congruenties a x2 + b x + c = 0 (mod. p) 2 oplossingen, d. w. z. kan men bij elk stel getallen a, b, c een hetzij gewoon getal n, hetzij denkbeeldig complex getal nx + e n2 vinden, waarvoor de vorm a x2 + b x + c door p deelbaar is.
