v./m. (-s), een formule die in de numerieke analyse gebruikt wordt om de oplossing van een bepaalde integraal of van een differentiaalvergelijking met beginvoorwaarden (een beginwaardeprobleem) te benaderen.
(e) Bepaalde integraal. De integratieformule gaat uit van een verdeling van een interval in een groot aantal (gelijke) delen met lengte h. Bij de NewtonCoöfes-integratie gaat men uit van een intervaldeling met h (b—a)/k, x0 = a, xk = b; f(x) wordt vervangen door het interpolerend polynoom met graad k, dat in de k + 1 punten x: overeenkomt met f (x). Dit polynoom wordt term voor term geïntegreerd, men krijgt dan een integratieformule geschreven als een lineaire combinatie van de f1 = f(X1), waarvan de coëfficiënten van a, b en k maar niet van f afhangen. Het kan gevaarlijk zijn, m.n. bij functies die sterk variëren, de Newton-Coatesintegratie over het hele interval ineens uit te voeren. Het is te prefereren ab te verdelen in n/k deelintervallen van gelijke grootte en dan in elk van de deelintervallen de Newton-Coates-integratie toe te passen. Voor k = 1 krijgt men de trapeziumregel: b ∫ f(x)dx = a h(1/2fo + f1 + f2 + ... + fn_1 + 1/2fn) + E Voor k = 2 de parabolische regel (mits n even):
b ∫f(x)dx = E+ a + h(f0 + 4f1 + 2f2 + ... + 2fn_2 + 4fn-1 + fn waarin E de fout aangeeft.
Men kan ook de Newton-Coates-integratie toepassen op deelintervallen van ongelijke grootte en de deelpunten zo kiezen dat de orde van de fout zo klein mogelijk wordt. Het bezwaar dat de f(x1) geen getabelleerde waarden meer zijn, is bij het gebruik van computers van weinig belang meer, terwijl de nauwkeurigheid dan groter is. Beginwaardeprobleem y’ = f(x,y), y0 = y(x0) = a. Ook hier wordt het integratie-interval verdeeld in delen met lengte h. De yn = y(xn) wordt gevonden door extrapolatie vanuit reeds berekende waarden. Bij de Runge-Kutta-methoden wordt de yn verkregen door de f(x,y) te berekenen in een groot aantal punten in de omgeving van (xn_1 yn-1) en een convexe combinatie van de gevonden waarden van hf op te tellen bij yn-1.
De eerste-orde-RungeKutta-methode houdt alleen rekening met de eerste afgeleide in het punt xn-1 terwijl de hogere versies er schattingen van de tweede (en verdere) afgeleiden bij nemen. De Runge-Kutta-methoden zijn zelfstartend maar houden geen rekening met tussentijds gemaakte fouten. De vierde-orde-RungeKutta-methode is in vele standaardcomputerprogrammapakketten beschikbaar.
Bij de multistapof predictor-correctormethoden gaat men uit van een reeds verkregen reeks oplossingswaarden, b.v. y0, yu yn. Bij het bepalen van de volgende waarde maakt men gebruik van de laatste twee, drie of vier punten. Voor twee punten is het principe: 1. extrapoleer y’ op basis van yn-1 en y’n-2. 2.integreer tot xn+1 (de predictie van yn+1); 3. bepaal y’n-1 met behulp van xn+1 en de predictie van yn+1; 4. interpoleer y’ op basis van y’n en y’n+1;5. integreer de ontwikkeling opnieuw tot het punt xn+1 (de correctie). Door de stappen 3—5 te herhalen en hogere-graadsontwikkelingen te gebruiken bij de interpolatie en integratie kan men de nauwkeurigheid vergroten.
Bij een integratieformule is het van belang dat de afrondingsfouten zich niet te sterk voortplanten. Anders is de methode niet stabiel en in de praktijk onbruikbaar. Tevens zal het verschil tussen de berekende waarde van y en de werkelijke waarde naar nul moeten gaan als de stapgrootte h naar nul gaat.
