[Lat.], bn., onschend-, onkreukbaar, integraal [→Lat.],
I. bn. en bw.,
1. op zichzelf bestaand, een geheel uitmakend: integrale spoorwegen;
2. waaraan niets ontbreekt, alles omvattend, in zijn geheel, volledig: een tekst — uitgeven; 3. — binden, in een integraalband;
II. zn. v./m. (-gralen),
1. (wiskunde) een bepaalde functie (e); integraal van een differentiaalvergelijking, een betrekking tussen de in de differentiaalvergelijking voorkomende veranderlijken, die aan deze voldoet;
2. Ned. staatsobligatie waarvan de onverminderde rentebetaling wordt gegarandeerd.
(e) Het begrip integraal kan duidelijk gemaakt worden aan de hand van de berekening van de oppervlakte van een figuur in een plat vlak, die begrensd wordt door een kromme. Wil men de oppervlakte berekenen die begrensd wordt door het stuk PQ van de x-as (afb.), de bijbehorende boog van de kromme y = f(x) en de beide ordinaten PP1 en QQ1, dan kan men als volgt te werk gaan. Verdeel PQ door de punten A1, A2, ... in n (niet noodzakelijk gelijke) delen (n eindig, in de afb. n = 4). Laten XO, X1, x2, ..., xn_1, xn de abscissen van resp. P,A1; A2, ..., An_1, Q zijn. Verder zijn mk en Mk het minimum resp. het maximum van f(x) in het kde interval (k = 1,2,..., n). Berekent men de beide sommen s en S volgens:
s = (x1-x0 )m1 + (x2-x1)m2 + ... + (xn-xn_1)mn S = (xi—x0)M1 + (X2-X1)M2 + ... + (xn—xn_1)Mn. In de afb. vormen s en S de oppervlakten onder de getrapte lijnen onder resp. boven de kromme. De gevraagde oppervlakte moet dus zeker groter zijn dan s en kleiner dan S. Als f (x) overal op PQ continu is, dan gaan s en S willekeurig weinig van een getal 0 verschillen, als alle getallen (xk— xk-1) voor k = 1, 2, ... maar voldoende klein gekozen worden. Het getal O wordt de oppervlakte van P1PQQ1; het wordt voorgesteld door het symbool b ∫(x) dx a als a = x0 en b = xn. Dit wordt een integraal genoemd met de grenzen a en b.
Het is dus de limiet van de sommen s en S. De integraal wordt bepaald door a, b en de functie f(x).
Als voorbeeld de functie y = 1 — x2 tussen de grenzen 0 en 1. Het interval (0,1) wordt door de deelpunten 1/n, 2/n, ..., (n—l)/n en n gelijke delen verdeeld. Dan geldt: s = (1—1 /n2)/n + (1-22/n2) + ...+ {1 (n — l)2/n2}/n dit kan men uitwerken tot s = 1 — 1/n — (1—l/n)(2—l/n)/6. Al sn tot oneindig nadert heeft s de limiet 2/3, dus
1
∫ (1-x2) dx = 2/3 o →integraalrekening.
