v. (-s), integraaltransformatie van een functie, ontwikkeld door de Franse wiskundige J.B.J.Fourier.
© Een periodieke functie f(x) met periode p kan uitgedrukt worden in een oneindig voortlopende → fourierreeks:
f(jc) = ½ a0 + Σ (n=1) (a„ sin n⍵x + b„ cos n⍵x)
waarin a0, an en bn coëfficiënten zijn en ⍵ = 2Πlp. Nu geldt heel algemeen dat cos x + i sin x = eix (waarin i = √(-1)), zodat de fourierreeks ook geschreven kan worden in de vorm:
f (x) = Σ (n=0) cn ein⍵x De complexe coëfficiënten c„ worden volledig bepaald door f(x), terwijl omgekeerd ook geldt dat f(x) volledig bepaald is door de oneindige reeks complexe getallen c„ (en ⍵). Hoewel theoretisch oneindig veel termen nodig zijn om een functie volledig te bepalen, kan dikwijls al een goede benadering verkregen worden met klein aantal termen van de fourierreeks. Een blokvormige functie kan b.v. al redelijk benaderd worden met slechts drie termen van de fourierreeks (afb. 1). De grafiek waarin de coëfficiënten c„ zijn uitgezet tegen n, noemt men het frequentiespectrum van de functie f(x).
Een niet-periodieke functie kan niet geschreven worden als een fourierreeks. Wel kan een daaraan analoge bewerking, de fouriertransformatie, uitgevoerd worden. De fourier-getransformeerde functie g(r) van f(x) wordt gedefinieerd als:
g(f) = ∫_(-∞)^(+∞)(x)e~i2πxtdx De functies f(x) en g(t) bepalen elkaar wederzijds eenduidig. De grafische voorstelling van g(t) noemt men weer het frequentiespectrum van f(x). Vaak wordt in plaats van g(r) de aanduiding f(/) gebruikt voor de fourier-getransformeerde van f(x).
De fouriertransformatie wordt veelvuldig toegepast, o.a. in de zuivere wiskunde, communicatietechniek, natuur- en sterrenkunde. In veel gevallen is de functie f(.r) gegeven in de vorm van een grafiek of als een serie getallen (meetwaarden). Dit heeft tot gevolg dat de integraal uit de fouriertransformatie niet analytisch bepaald kan worden, maar numeriek uitgerekend moet worden. Dit numeriek uitvoeren van een fouriertransformatie vergt zoveel rekenwerk dat er vrijwel altijd een computer voor gebruikt wordt. Een betrekkelijk eenvoudige toepassing in de natuurkunde is de analyse van trillingsbewegingen (→ akoestiek).
Een veel ingewikkelder toepassing, die m.n. in de sterrenkunde gehanteerd wordt, is het wegwerken van fouten in een afbeelding (b.v. een foto gemaakt met een telescoop). Een optisch systeem beeldt een punt nooit af als een punt, maar altijd als een vlekje met enige afmetingen (o.a. het gevolg van lensfouten en de eindige opening van de telescoop). Beeldvlekjes van naast elkaar gelegen voorwerpspunten kunnen hierdoor over elkaar komen te vallen. Een foto, die in feite bestaat uit beeldjes van zeer veel losse punten in het voorwerp, wordt daardoor wazig (versmeerd). De mate waarin elk los punt versmeerd wordt, kan voor elk optisch systeem gemeten worden en in een versmeringsfunctie worden uitgedrukt. Wiskundig gezien komt een versmering van twee functies neer op het vermenigvuldigen van hun fourier-getransformeerden.
Het wegwerken van de versmering gaat als volgt: de afbeelding wordt omgezet in een functie van twee variabelen, nl. de intensiteit als functie van de plaatscoördinaten. Deze functie en de versmeringsfunctie worden fourier-getransformeerd. De getransformeerde van de beeldfunctie deelt men door de getransformeerde van de versmeringsfunctie, waardoor de in het beeld aanwezige versmering verwijderd wordt. Het ‘schone’ quotiënt wordt teruggetransformeerd. Deze nieuwe, schone afbeeldingsfunctie bevat de informatie van de afbeelding zonder versmering. Deze functie kan met behulp van een beeldscherm weer omgezet worden in een optisch beeld.
Omdat de numerieke bewerking slechts kan geschieden met een beperkt aantal termen, is het resultaat niet perfect, maar zeer grote verbeteringen zijn mogelijk. Soortgelijke technieken worden toegepast bij de → beeldbewerking.
